从统计物理学看复杂网络研究new

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1、第!"卷第#期物理学进展$%&’!"，(%’#!))"年*月+,-.,/001(+230140567’，!))"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!文章编号：#)))!)8"（!!))"）)#!))#9!!:从统计物理学看复杂网络研究吴金闪#，!，狄增如#（#=北京师范大学管理学院系统科学系，北京#))9;8!=北京师范大学物理系，北京#))9;8）摘要：从统计物理学来看，网络是一个包含了大量个体及个体之间相互作用的系统。本文从统计物理学的角度整理与总结了复杂网络目前的主要研究结果，并对将来

2、的研究工作做了一个展望。文章把网络分为三个层次———无向网络、有向网络与加权网络，对不同网络的静态几何量研究的现状分别做了综述，并结合网络机制模型设计与评价的需要，提出了新的有待研究的静态几何量；对网络机制模型做了总结与分析，提出了有待解决的关于双向幂律网络的机制模型的问题；部分地概括了网络演化性质，网络的结构稳定性以及网络上的动力学模型的研究。然后，以我们目前正在进行的两个方面的工作—科学家网络和产品生产关系网络—为例，粗略地介绍了网络研究在一些实际问题中的应用。最后，作为一个简单的补充和索引，我们整理了复杂网络研究中部分常用的解析与数值计算的方法。关键词

3、：统计物理学；复杂网络；综述；随机图；幂律；无标度网络中图分类号：-"#"=!文献标识码：>)引言近年来，关于复杂网络的研究正处于蓬勃发展的阶段［#?*］。其研究者来自图论、统计物理学、计算机网络、生态学、社会学以及经济学等各个不同领域。网络研究的文章主要发表于+@AB’,CD’ECFF’，+@AB’,CD’/，+@ABGH6>，+(>0等物理类期刊，(6FI7C，0HGCJHC等综合期刊，以及/H%&%KAECFFC7、>45等专业期刊。!))!年,CD’5%L’+@AB’的综述文章《复杂网络的统计物理学》［#］在历史、基础与前沿等各个方面都写的非常之好，

4、得到了非常高的引用率，已经在010被评为由突出影响的文章之一［"］。但是这一年多以来，网络研究的飞速发展，新的理论研究、新的应用领域的发展和开辟，使得我们有必要重新整理与总结这一领域的研究，以促进复杂网络研究的发展。同样是网络的统计物理学，本文更多的从复杂网络研究的不同方向进行总结，在保证一定的广度的基础上突出深度，阐述不同方向之间的联系，并据此提出新的研究问题。收稿日期：!))*!#)!!8基金项目：万方数据国家自然科学基金（(%’;:::)89)）和（(%’<)))*)#9）资助(期吴金闪等：从统计物理学看复杂网络研究(4网络可以用来描述人与人之间的社会

5、关系，物种之间的捕食关系，词与词之间的语义联系，计算机之间的网络联接，网页之间的超链接，科研文章之间的引用关系，以及科学家之间的合作关系，甚至产品的生产与被生产关系。网络还可以作为现象的背景舞台，例如在社会关系网络上讨论舆论的传播，接触关系网络上讨论传染病的传播，计算机病毒在!"#$%"$#网络或邮件网络上的传播，在引文网络上研究新思想的提出与传播，在科学家网络上研究科学家之间的相互影响等。网络与现象结合还可以用来讨论网络的稳定性等结构与功能关系，例如在食物链网络上讨论个别或部分物种灭绝对整体生态系统的影响，在不同的网络上讨论传染病传播的控制，在科学家网络中

6、讨论某个领域中不同的科学家的影响力对网络演化的影响。此外，网络本身的演化过程也是一个有趣的问题，例如!"#$%"$#网络的形成被认为是无限定原则的，但是它却展现了一些重要而普适的结构特征与稳定性，再比如，对于某一个学科内的引文网络与科学家网络的演化机制的研究，有可能给出促进科学发展的新的方案与模式。每一个系统中的网络都有其自身的特殊性质，有其紧密联系在一起的独特现象，有其自身的演化机制，但是由于都可以使用网络分析的方法，所以有其共性。例如关于顶点度值、介数的分析方法以及大量不同网络中存在的相同的统计特征，再如随机去点与选择性攻击对网络结构的影响及其分析方法。

7、研究网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，并把它与具体系统结合起来是复杂网络研究的中心内容。统计物理与图论都是研究这种共性的有力工具。网络!&（"，#）作为图论的概念是指由一个点集"（!）和一个边集#（!）组成的一个图，且#（!）中的每条边$%有"（!）的一对点（&，’）与之对应。记顶点数为(&’"’，边数为)&’#’。如果任意（&，’）与（’，&）对应同一条边，则称为无向网络，否则为有向网络；如果任意’$%’&(，则称为无权网络，否则为加权网络。从统计物理学的角度来看，网络是一个包含了大量个体以及个体之

8、间相互作用的系统，是把某种现象或某类关系抽象为个体（