电路分析课件12new

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§4-4单位阶跃函数与单位冲激函数1.单位阶跃函数(1)单位阶跃函数地定义为：(t)0t0(t)11t00t在t0时有跃变,其值无定义在t由负值趋近于0时，其瞬时值为t0在t由正值趋近于0时，其瞬时值为t0 (2)阶跃函数可以用来描述开关动作t=0++USu(t)U(t)u(t)NSN(a)(b)(3)还可以定义延时的单位阶跃函数(t-t)00tt0(tt0)1tt10t0t0 (4)阶梯状波形可表示为若干阶跃函数的叠加f(t)1t0t0ε(t)ε(t-t0)t0＝1＋0t0t1表示式：()ft()t(tt)0 p(t)(t)2.单位冲激函数1(幅度)(1)单位冲激函数的定义:面积=1面积=1(t)0t0tt0022}(1)(t)dt1(a)脉冲函数p(t)(b)单位冲激函数单位冲激函数可以看成是图(a)所示脉冲函数在0时的极限。当减小时，脉冲函数的幅度增加，而p(t)曲线下的面积总保持为1。当趋近于0时，上两式即可得到满足。单位冲激函数可设想为：在原点处宽度趋于零而幅度趋于无限大,但具有单位面积的脉冲。冲激函数所含的面积称为冲激函数的强度；单位冲激函数的意思是强度为1的冲激函数。0(t)dt(t)dt1(2)0 (-)tt0(2)单位延时冲激函数的定义为(tt0)0tt0面积=1(tt)dt10t0t0单位延时冲激函数δ(t-t)可设想为:在t=t处宽度趋于零00而幅度趋于无限大,但具有单位面积脉冲.(3)冲激函数—常数A与δ(t)的乘积A(t)0面积为AA(t)dtA(t)dtA00tA(t)的图形 (4)延时冲激函数A(-)tt0冲激函数Aδ(t-t)可设想为0面积为A在t=t处,强度为A的冲激函数0t0t0例：一个原处于静止状态,质量为m的物体,在t=0时受到一冲击力F的作用,在t=0时获得速度为V+则该冲击力可以用冲激函数mt=0F=mvδ(t)Fv表示，冲激强度mv就等于冲击力t=0+作用于该物体的冲量,即Fdtmv(t)dtmv 例如：一带电量为Q的电容，在t=0时通过短路线放电时，放电电流可表示为i=Qδ(t)。iSt=0冲激强度Q等于电容的放电电荷++QCidtQ(t)dtQ (5)单位阶跃函数和单位冲激函数的关系—单位冲激函数等于单位阶跃函数的导数d(t)(t)dtt(t)(t')dt' 证明：f(t)f'(t)面积为111/tt-0-02222(a)函数f(t)(b)函数f(t)对时间的导数图(a)所示为函数f(t)1－tf(t)对时间的导数用函数式表示为f'(t){220t－或t22(b)图为一矩形脉冲,脉冲的高度是宽度τ的倒数，面积=1，在(a)图中,当τ0时,将有f(t)=ε(t)0t由负值020t由正值02 而脉冲ft'()面积仍保持为1.因此由冲激函数的定义式可知dt()limft'()()t0dt即单位冲激函数等于阶跃函数对t的导数反之，由单位冲激函数的定义可知；t(t')dt'1(t0)t(t')dt'0(t0)结合单位阶跃函数的定义式有t(t)(t')dt'即单位阶跃函数等于单位冲激函数的积分在非常短暂的时间内产生的一个巨大的脉冲电流或电压,是冲激函数的一种近似. 例:如图所示,将一个不带电的电容元件在t=0时通过开关联接到一个电压源上.如果电容为1F,电源电压为1V,用单位阶跃函数ε(t)表示，可得u(t)=ε(t)C电容的充电电流du(t)d(t)ci(t)C(t)为一单位冲激电流cdtdti(t)i(t)=(t)s(=0)t++1Vuc(t)1F(t)uc(t)1F__(a)原始电路(b)用单位阶跃函数表示的等效电路 若(a)图中电压源为US,电容为C,则换路后的充电电流为：du(t)d(t)ci(t)CCUCU(t)cssdtdt0qi(t)dtCUs0结论:(1)当电容的充电电流(或放电电流)为冲激电流时,电容电压要发生强迫跳变[u(0)=0,u(0)=U]C-C+S(2)冲激电流通过电容的瞬间(0到0),电容极板上-+电荷的跳变量即等于冲击电流的强度CU.S 例:将一个电感元件在t0时联接到一个电流源上，若电感为1H，电流源电流为1A，用单位阶跃函数()t表示，可得：it()L换路后电感元件的端电压dit()dt()LuL1()t为一单位冲激电压Ldtdts(=0)ti(t)(t)L++u(t)(t)1H1ALuL(t)1H__(a)原始电路(b)用单位阶跃函数表示的等效电路 若图中电流源的电流为I,电感为L,则换路后电感的端电压为Sdit()dI[()]tdt()LSuLLLILI()tLSSdtdtdt0utdt()LILs0结论:(1)当电感的端电压为冲激电压时,电感的电流要发生跳变[i(0-)=0,i(0)=I].LL+S(2)冲激电压加于电感两端的瞬间(0-到0),电感中磁+通链的跳变量即等于冲激电压的强度LIs 作业：3-143-173-193-203-4-2 §4-5初始状态与初始条件只要电路中有贮能元件,就会有暂态(过渡)过程.例:开关闭合到C两端电压为5V之间有一SR个过渡过程.U=5VsC1.开关定理(换路定理)(1)换路—由电路结构或参数变化引起的电路变化“换路”在t=0时刻进行.换路前的最终时刻(瞬间)t=0-“换路”t=0换路后的最初时刻(瞬间)t=0+换路经历的时间为0-到0+ (2)开关定理a)电容:在开关发生瞬间,电路中任意电容的电压uc或电荷q不能突变.即u(0-)=u(0)或q(0-)=q(0)cc++b)电感:在开关发生瞬间,电路中任意电感的电流i或L磁通链不能突变.即ii(0)(0)或(0)(0)LLLL电容电流有界的条件下，电容电压不能突变；电感电压有界的条件下，电感电流不能突变； 以电容为例：iS(t=0)12t=0时，开关S由2倒向1.uSRiuCRuR回上页图U011tucidtuc(0)0idtUSuCCC10t0时,u(0)u(0)idtCCC0如果在换路前后,即0-到0瞬间,电流为有限值,则电容+上的电压不发生突变u(0)u(0)CC同理：qq(0)(0)12能量WCuCC2dWC功率pdt iR1=1kSt=0i1(0-)R1=1k例:1i2ucCu(0-)C12V12VR=2kc2icic解:t=0-时，uC(0-)=12Vt=0-时的等效电路t=0时，S闭合i1(0+)R1=1kuc(0)=uc(0-)=12V+i1(0+)=0A12V12VucR2=2ki(0)=12/R=6mA2+2ic(0+)i2(0+)ic(0)=－12/R=－6mA+2t=0+瞬间的等效电路因为i1=0所以i=－iC2 R1R2例:iiL+10Vt=0SuL解:t=0-时，_iki(0-)=10/(R+R)=1AL12原图t=0时，S闭合i(0)=i(0-)=1AR1R2L+Li(0+)uL(0+)=－R2iL(0+)=－4V+10Vik(0+)_uL(0+)i(0+)=10/R1=1.67Ai(0+)i(0)=i(0)-i(0)=0.67ALk++L+t=0时的等效电路+ §4-6动态电路的输入—输出方程动态电路—含有动态元件(C,L)的电路1.RC串联电路接通到直流电压源SiR假定开关S合上之前电容两端已具有电压U0(U=0时，电路的方程为RiuUCSduCRCuUCSdt 非齐次特解ucs=Us(开关闭合后的稳定电路)线性方程的解齐次方程的通解p为齐次方程的特征方程RCp+1=0的根1pRC通解u=Aept积分常数A由开关定理确定cttu(0)uuUAeRCccsctst0UAu(0)USC0AUU0S 2.RL串联电路接通到直流电压源开关合上前，t<0，i(0-)=0LSRiL合上开关，即t>=0时uRiUUuLLSSLdiLLRiULSdt特解i=U/R(开关闭合后的非齐次LSS稳定电路）线性方程的解齐次方程的通解 p为特征方程Lp+R=0的根通解RpL积分常数A由开关定理确定i=AeptRtLtUSLi(0)i(0)i(0)AeLLSLtt0RUSAi(0)0LRUSA-总结：R(1)对于单输入—单输出动态电路，其分析可以归结为建立以待求变量作为输出变量的方程并求解该方程.(2)如果描述动态电路的输入—输出方程是一阶微分方程，则称该电路为一阶电路。 S(t=0)Ri(t)L例：如图R＝5Ω，L＝1H，1HC＝1/6F，电源电压u(t)=e-tV，su-tu(0-)(t)=eV开关S在t=0时闭合。SCC=1/6F已知i(0-)=0，uc(0-)=6V，求以i(t)为输出变量的输入—输出方程及其初始条件。解：根据KVL和VCR可得换路后的电路积分微分方程为di(t)tt5i(t)u(0)6i(t')dt'e(1)Cdt02dit()dit()t506()ite(2)2dtdt上2式为以i(t)为输出变量的输入输出方程 di(t)tt对(1)式5i(t)u(0)6i(t')dt'eCdt0令t=0+，可得i(0)5(0)iu(0)1(3)CiL和uC均不能跳变，即：ii(0)(0)0uu(0)(0)6VCC代入(3)式得i(0)165A/S故该二阶微分方程（输入输出方程）的初始条件为i(0)0i(0)5A/S 作业：3-223-23