工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)

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1、1-11．试证：若ft()满足Fourier积分定理中的条件，则有+∞+∞ft()=∫0a(ω)cosωωtd+∫0b(ω)sinωωtd1+∞1+∞其中a(ω)=∫−∞f(τ)cosωττd,b(ω)=∫−∞f(τ)sinωττd.ππ分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier积分的复数形式，有1+∞⎡+∞−jωt⎤jωtft()=∫⎢⎣⎢⎣⎢⎣∫f(τ)e⎥⎦⎥⎦⎥⎦edω2π−∞−∞1+∞⎡1+∞⎤jωt=∫−∞⎢∫−∞f(τ)(cosωτ−jsin

2、ωτ)dedτ⎥ω2⎣π⎦1+∞=∫−∞⎡⎣⎡⎣⎡⎣a(ω)−jb(ω)⎤⎦⎤⎦⎤⎦(cosωt+jsinωt)dω2由于a(ω)=a(−ω),b(ω)=−b(−ω),所以1+∞1+∞ft()=∫−∞a(ω)cosωωtd+∫−∞b(ω)sinωωtd22+∞+∞=∫0a(ω)cosωωtd+∫0b(ω)sinωωtd2．求下列函数的Fourier积分：22⎧⎪⎧⎪⎧⎪1−t,t≤1⎧⎪⎧⎪⎧⎪0,t<01）ft()=⎨;2)ft()=⎨;2−t⎪⎩⎪⎩⎪⎩0,t>1⎪⎩⎪⎩⎪⎩esin2,tt≥0⎧0,−∞<<−t1⎪⎪

3、−−<<1,1t03)ft()=⎨⎪1,0<1⎧+∞+∞1−jωt2F()ω=F[()]ft=⎨ft()edt=2∫ft()cosωttd=2∫(1−t)cosωttd⎩−∞001⎡⎛2⎞⎤−sinωt2costωt2sinωttsinωt4(sinωωcos)ω=2⎢−⎜−+⎟⎥=(偶函233⎣

4、ω⎝ωωω⎠⎦0ω数)f(t)的Fourier积分为1+∞jωt1+∞ft()=∫F()edωω=∫F()cosωωωtd2π−∞π04+∞(sinωω−cos)ω=cosωωtd∫3π0ω2)所给函数为连续函数，其Fourier变换为+∞τ−jωt−t−jωtF(ω)=F[ft()]=∫ft()edt=∫esin2etdt−∞02jt−2jt+∞−te−e−jωt1+∞(12jj)−+−ωt−(12jj)++ωt=∫e⋅⋅edt=∫[e−e]dt02j2j0+∞(12jj)−+−ωt−(12jj)++ωt1⎡ee⎤=⎢+

5、⎥2j⎣−+12jj−ω12jj++ω⎦0⎡−2−⎤j⎛11⎞2⎣(5ω)2jω⎦=⎜+⎟=（实部为偶函数，虚242⎝−+1(2−ω)j1(2+−ω)j⎠256−ω+ω数为奇函数）f(t)的Fourier变换为1+∞jωtft()=∫F()edωω2π−∞⎡−2−⎤1+∞2⎣(5ω)2jω⎦=⋅(cosωt−jsinωt)dω∫242π−∞256−ω+ω221+∞(5−ω)cosωt+2sinωωt1+∞(5−ω)sinωt−2cosωωt=dω+dω∫24∫24π−∞256−ω+ωπ−∞256−ω+ω22+∞(5−ω)c

6、osωt+2sinωωt=dω∫24π0256−ω+ω这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点-1，0，1且f(-t)=-f(t)是奇函数，其Fourier变换为+∞+∞−jωtF(ω)=F[ft()]=∫ft()edt=−2j∫ft()sinωttd−∞012j(cosω−1)=−2j∫1sin⋅ωttd=（奇函数）0ωf(t)的Fourier积分为1+∞jωtj+∞ft()=∫F(ω)edω=∫F(ω)sinωωtd2π0π02+∞1cos−ω=∫sinωωtdπ0ωft(0+0)+ft(0−0)其中t≠-1，

7、0，1（在间断点t处，右边f(t)应以代替）.023．求下列函数的Fourier变换，并推证下列积分结果：−βt+∞cosωtπ−βt1）ft()=e(β>0),证明：dω=e;∫220β+ω2β2−t+∞ω+2π−t2）ft()=ecost，证明：cosωωtd=ecos;t∫40ω+42⎧π⎧⎪⎧⎪⎧⎪sin,tt≤π+∞sinωπsinωt⎪sin,tt≤π3）ft()=⎨，证明：dω=⎨2∫2⎪⎩⎪⎩⎪⎩0,t>π01−ω⎪0,t>π⎩−βt证明：1）函数ft()=e为连续的偶函数，其Fourier变换为+∞+∞−

8、βt−jωt−βtF(ω)=F⎡⎣⎡⎣⎡⎣ft()⎤⎦⎤⎦⎤⎦=∫eedt=2∫ecosωttd−∞0−βtt=+∞e(−βcosωt+ωsinωt)2β=2=2222β+ωβ+ωt=0再由Fourier变换得1+∞jωt1+∞2βft()=F(ω)edω=cosωttd∫∫222π−∞π0β+ω即+∞