[工学]积分变换课后答案

《[工学]积分变换课后答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1-11．试证：若满足Fourier积分定理中的条件，则有其中分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier积分的复数形式，有由于所以2．求下列函数的Fourier积分：1）;2)3)分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数为连续的偶函数，其Fourier变换为(偶函数)f(t)的Fourier积分为2)所给函数为连续函数，其Fourier变换为（实部为偶函数，虚数为奇函数）f(t)的Fourier变换为这里用到奇偶函数的积分性质.3）所

2、给函数有间断点-1，0，1且f(-t)=-f(t)是奇函数，其Fourier变换为（奇函数）f(t)的Fourier积分为其中t-1，0，1（在间断点处，右边f(t)应以代替）.3．求下列函数的Fourier变换，并推证下列积分结果：1）证明：2）证明：3），证明：证明：1）函数为连续的偶函数，其Fourier变换为再由Fourier变换得即2）函数为连续的偶函数，其Fourier变换为再由Fourier变换公式得即3）给出的函数为奇函数，其Fourier变换为故4.求函数的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式.解：根据Fourie

3、r正弦积分公式，并用分部积分法，有根据Fourier余弦积分公式，用分部积分法，有1-21．求矩形脉冲函数的Fourier变换.解：2.设是函数的Fourier变换，证明与有相同的奇偶性.证明：与是一个Fourier变换对，即，如果为奇函数，即，则（令）（换积分变量为）所以亦为奇函数.如果为奇函数，即，则（令）（换积分变量为）所以亦为奇函数.同理可证与同为偶函数.4．求函数的Fourier正弦变换，并推证解：由Fourier正弦变换公式，有由Fourier正弦逆变换公式，有由此，当时，可得5．设，试证明：1）为实值函数的充要条件是；2）为虚值函数的充要条

4、件是.证明：在一般情况下，记其中和均为的实值函数，且分别为的实部与虚部.因此其中，1）若为的实值函数，即.此时，式和式分别为所以反之，若已知，则有此即表明的实部是关于的偶函数；的虚部是关于的奇函数.因此，必定有亦即表明为的实值函数.从而结论1）获证.2）若为的虚值函数，即.此时，式和式分别为所以反之，若已知，则有此即表明的实部是关于的奇函数；的虚部是关于的偶函数.因此，必定有，亦即表明为的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier变换，求该函数.解：为连续的偶函数，由公式有但由于当时当时当时，所以得7．已知某函数的Fourier变换为，求

5、该函数.解：由函数，易知8．求符号函数（又称正负号函数）的Fourier变换.解：容易看出，而9．求函数的Fourier变换.解：.10.求函数的Fourier变换.解:已知由有11.求函数的Fourier变换.解:已知,由即得12.求函数的Fourier变换.解:由于故.14.证明：若，其中为一实数，则其中为的共轭函数.证明：因为同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解：1－31．若是常数，证明（线性性质）：分析：根据Fourier变换的定义很容易证明.证明：根据Fourier变换与逆变换的公式分别有6．若，证明（翻转性

6、质）：分析：根据Fourier变换的定义，再进行变量代换即可证明.证明：（令）（换为）9．设函数，利用对称性质，证明：证明：由对称性质：，则有12．利用能量积分，求下列积分的值：1）；2）；3）；4）.解：1）（令）2）3），其中从而4）1－41.证明下列各式：2）；6）10)分析：根据卷积的定义证明.证明：2)6）,.10).2．若，求.注意：不能随意调换和的位置.解：由，，所以要确定的区间，采用解不等式组的方法.因为.即必须满足,即,因此（分部积分法）4.若，证明:证明:5.求下列函数的Fourier变换：1）；2）；5）；解:1）已知,又.由位移性

7、质有.2）由Fourier变换的定义，有5）利用位移性质及的Fourier变换，有再由象函数的位移性质，有7．已知某信号的相关函数，求它的能量谱密度，其中.解由定义知9．求函数的能量谱密度.解:因为,当时，的区间为，所以当时，的区间为，所以因此，，现在可以求得的能量谱密度，即1－51．求微分方程的解.分析：求解微分、积分方程的步骤：1）对微分、积分方程取Fourier变换得象函数的代数方程；2）解代数方程得象函数；3）取Fourier逆变换得象原函数（方程的解）.解：设对方程两边取Fourier变换，得即其逆变换为4．求解下列积分方程：1）2）.解：1）

8、利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数与的卷积，即.设对方