数值分析 (7)

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1、第七章数值积分与数值微分§1数值积分基本概念§2插值型求积公式§3复化求积算法§4Romberg求积法§5Gauss型求积公式§6数值微分2009-09-261§7.1数值积分基本概念由积分学基本定理Newton-Leibenize公式有：b∫f(x)dx=F(b)-F(a)a但在应用中常会碰到如下情况：①f(x)的原函数无法用初等函数给出②f(x)用表格形式给出③虽然f(x)的原函数能用初等函数表示,但表达式过于复杂。2009-09-262一.求积公式nbI=∫f(x)dx»∑Akf(xk)=Inak=0nbI=f(x)dx=

2、Af(x)+R[f]=I+R[f]∫∑kknak=0其中R[f]称为求积公式的余项，xk(k=,2,1,0Ln)称为求积节点，A(k=,2,1,0Ln)称为求积系数。kA仅与求积节点x的选取有关，而不依赖与被积kk函数f(x)的具体形式。2009-09-263二.求积公式的代数精确度衡量一个求积公式好坏的标准。nb定义：如果求积公式∫f(x)dx»∑Akf(xk)ak=0对于一切不高于m次的代数多项式准确成立，而对于某个m+1次多项式并不准确成立，则称上述求积公式具有m次代数精确度，或称为具有m次代数精度。2009-09-264

3、求积公式的代数精确度（续）如果要构造具有m次代数精度的求积公式，2m只要令它对于f(x)=,1x,x,L,x都能准确成立即可。nbmm∫(a0+a1x+L+amx)dx=∑Ak(a0+a1xk+L+amxk)ak=0bbbmÛadx+axdx+L+abxdx0∫a1∫am∫annnm=a0∑Ak+a1∑Akxk+L+am∑Akxkk=0k=0k=02009-09-265求积公式的代数精确度（续）nbdx=A∫a∑kk=0nbxdx=Ax∫∑kkak=0Mnbmmxdx=Ax∫a∑kkk=0即若求积公式具有m次代数精度，A应满足上

4、述方程组。反之亦然。k2009-09-266求积公式的代数精确度（续）特别地,若取n=m，即取m+1个节点x0Lxm,则可通过给定的m+1个节点得到上述含m+1个未知数、m+1个方程的方程组。若求积节点互异，则11L1xxLx01mdetA=¹0MMMmmmxxLx01m从而可得如下定理：2009-09-267求积公式的代数精确度（续）定理：在区间[a,b]上,对于给定m+1个互异节点，a£x0

5、k少具有m次代数精度，但并不一定它具有m次代数精度,要将m+1代入求积公式，如果等式不x准确成立，即求积公式具有m次代数精度，否则代数精度将大于m。2009-09-268求积公式的代数精确度（续）Remark1：代数精度越高，求积公式的适应性越强。Remark2：凡至少具有零次代数精度的求积公式nbf(x)dx»Af(x)∫∑kkak=0n一定满足b1×dx=A×1∫∑kak=0n从而有∑Ak=b-ak=0即求积系数之和等于积分区间长度，这是求积系数的一个基本特性。2009-09-269求积公式的代数精确度（续）例：确定求积公式

6、hh[f)0(+f(h)]2∫f(x)dx»+ah[f¢)0(-f¢(h)]02中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造的求积公式所具有的代数精度。解：求积公式中含一个待定参数当f(x)=1,x时,有hh∫dxº1[+]1022009-09-2610求积公式的代数精确度（续）hh2∫xdx=0[+h]+ah1[-]102故令求积公式对f(x)=x2成立,即hh222∫xdx=0[+h]+ah2(´0-2h)021得a=122009-09-2611求积公式的代数精确度（续）3将f(x)=x代入已求得的求积公式，显然2h3h3

7、h2∫xdx=0[+h]+0[-3h]02124令f(x)=x2h4h4h3∫xdx¹0[+h]+0[-4h]02122hhh故∫f(x)dx»[f)0(+f(h)]+[f¢)0(-f¢(h)]0212具有三次代数精度。2009-09-2612三.收敛性与稳定性nb如果lim∑Akf(xk)=∫f(x)dx(limR[f]=0),n®¥ah®0k=0n®¥其中h=max(xi-xi-1)，则称该求积公式是收敛的。1£i£n如果求积公式对舍入误差不敏感（误差能够控制），则称该求积公式是稳定的。一个求积公式首先应该是收敛的，其次应该

8、是稳定的。2009-09-2613收敛性与稳定性（续）*设计算f(xk)时有绝对误差ek，即f(xk)-f(xk)=ek.nn*则e(In)=∑Akf(xk)-∑Akf(xk)k=0k=0nn=∑Akek£∑Akekk=0k=0取e=maxe若A>(0k=,1,