无限区间上的微分中值定理

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1、第１４卷第５期高等数学研究Ｖｏｌ．１４，Ｎｏ．５２０１１年９月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＳｅｐｔ．，２０１１无限区间上的微分中值定理伍建华，孙霞林，熊德之（武汉工程大学理学院智能机器人湖北省重点实验室，湖北武汉４３００７３）摘要以微分中值定理的几何意义作为切入点，将微分中值定理的适用区间从原来的有限区间［ａ，ｂ］推广到无限区间（－∞，＋∞），并给出相应的推广结论．关键词连续；可导；微分中值定理中图分类号Ｏ１７２．１文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１１）０５－００１２－０３在数学分析和高等数学课程中，罗尔定

2、理、拉格ｆ（ｘ０）＝Ｂ≠Ａ，朗日中值定理及柯西中值定理统称为微分中值定不妨设［１－２］理，它们是微分学中最基本、最重要的定理．Ｂ＞Ａ，文［３－４］将罗尔定理作了全面推广．本文将从微分由于中值定理的几何意义作为切入点对其进行推广．ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，ｘ→－∞微分中值定理的几何意义在于：故一定存在ｘ１＜ｘ０，使至少有一点ξ∈（ａ，ｂ），在这点曲线切ｆ（ｘ１）＜Ｂ．线与曲线割线平行．另由那么，把微分中值定理的适用区间从有限的区间推ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，ｘ→＋∞广到无限区间（－∞，＋∞），得到广义微分中值定故一定存在ｘ２＞ｘ０，使理，其几何意义应在于：ｆ

3、（ｘ２）＜Ｂ．至少存在一点ξ∈（－∞，＋∞），在这因ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上可导，故ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ２］点的曲线切线与曲线渐近线平行．上连续，则ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ２］上取得最值．又因定理１（广义罗尔中值定理）若函数ｆ（ｘ）在ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ０），ｆ（ｘ２）＜ｆ（ｘ０），无限区间（－∞，＋∞）上可导，则ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ２］内某点ξ取得最大值．由费马引ｆ（－∞）＝ｆ（＋∞）＝Ａ，［１］１２７理知，定理成立．其中当Ａ＝±∞时．不妨设｜Ａ｜＜＋∞，Ａ＝＋∞．或者另设Ａ＝±∞，ｆ（０）＝Ｂ，则至少存在一点ξ∈（－∞，＋∞），使得则由ｆ′（ξ

4、）＝０．ｌｉｍｆ（ｘ）＝＋∞，证明当｜Ａ｜＜＋∞时．如果ｘ→－∞ｆ（ｘ）＝Ａ一定存在ｘ１＜０，使是常数，定理显然成立．ｆ（ｘ１）＞Ｂ．否则，存在ｘ０∈（－∞，＋∞），使另由ｌｉｍｆ（ｘ）＝＋∞，收稿日期：２０１１－０３－０１；修改日期：２０１１－０７－１１．ｘ→＋∞基金项目：“十一五”国家课题（ＦＩＢ０７０３３５－Ｂ２－０４）．一定存在ｘ２＞０，使作者简介：伍建华（１９５５－），男，湖北黄石人，硕士，副教授，主要从ｆ（ｘ２）＞Ｂ．事算法分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｊｈｕａｗｕ＠１２６．ｃｏｍ．同理，至少存在一点ξ∈（ｘ１，ｘ２），使定理成立．孙霞林（

5、１９５６－），男，湖北鄂州人，副教授，主要从事数学推论１若函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上可导，教学与算法分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｈｅｓｈｏｕｌｉｎ４２４＠１６３．ｃｏｍ．熊德之（１９４９－），男，湖北武汉人，教授，主要从事数学教ｆ（ａ＋０）＝ｆ（ｂ－０）＝Ａ，学和应用数学研究．Ｅｍａｉｌ：ｄｅｚｈｉｘｉｏｎｇ＠ｈｏｔｍａｉｌ．ｃｏｍ．其中第１４卷第５期伍建华，孙霞林，熊德之：无限区间上的微分中值定理１３｜Ａ｜＜＋∞，ｆ（ｘ）－Ａｘ１ｌｉｍ＝Ｂｌｉｍ＝０，或者ｘ→∞ｘｘ→∞ｘ于是Ａ＝±∞，则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ，使得ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ．ｘ→∞ｘ

6、ｆ′（ξ）＝０．定理得证．推论２若函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，＋∞）或者区显然，如果有间（－∞，ｂ）上可导，ｆ（ｘ）ｌｉｍ＝Ａ．ｆ（ａ＋０）＝ｆ（＋∞）＝Ａ，ｘ→∞ｘ或者ｌｉｍ［ｆ（ｘ）－Ａｘ］＝Ｂ，ｘ→∞ｆ（－∞）＝ｆ（ｂ－０）＝Ａ，则有其中Ｌ：ｙ＝Ａｘ＋Ｂ｜Ａ｜＜＋∞，是曲线ｆ（ｘ）的渐近线．故定理２的几何意义是：或者当ｘ→－∞，ｘ→＋∞时，曲线都与渐Ａ＝±∞，近线Ｌ无限接近，则在曲线上至少存在一则在（ａ，＋∞）或者（－∞，ｂ）内至少存在一点ξ，使得点，在这点的切线与渐近线平行．ｆ′（ξ）＝０．例２验证广义拉格朗日中值定理对函数例１验证广义罗尔

7、中值定理对函数３２３ｆ（ｘ）＝槡６ｘ＋ｘ（－∞＜ｘ＜＋∞）２－ｘｆ（ｘ）＝１－ｅ（－∞＜ｘ＜＋∞）的正确性．的正确性．证明因为证明因为ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上可导，且ｌｉｍ［ｆ（ｘ）－ｘ－２］＝０，ｘ→∞２－ｘ，ｆ′（ｘ）＝２ｘｅ而ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上可导，且又因为２４ｘ＋ｘｆ′（ｘ）＝３，槡（６ｘ２３）２ｌｉｍｆ（ｘ）＝１，＋ｘｘ→∞满足广义罗尔中值定理条件，存在ξ＝０，使得满足广义拉格朗日中值定理定理条件，又３２３ｆ′（ξ）＝ｆ′（０）＝０．ｆ（ｘ）槡６ｘ＋ｘｌｉｍ＝ｌｉｍ＝定理２（广义拉格朗日中值定理）如果存在常ｘ→∞ｘｘ→∞ｘ３

8、数Ａ，Ｂ，使得６ｌｉｍ＋１＝１，［ｆ（ｘ）－Ａｘ－Ｂ］＝ｘ→∞槡ｘｌｉｍｘ→－∞１６ｌｉｍ［ｆ（ｘ）－Ａｘ－Ｂ］＝０，存在ξ＝－，使得３ｘ→＋∞且ｆ（