任意域上多元多项式矩阵分解的研究.pdf

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1、密级：公开中图分类号：O151.21硕士学位论文任意域上多元多项式矩阵分解的研究研究生：李丽华导师：刘金旺教授学科：数学研究方向：代数与符号计算2018年6月AThesisSubmittedfortheDegreeofMasterTheResearchonn-DpolynomialMatricesFactorizationoverArbitraryCoeffcientFieldCandidate：LihuaLiSupervisorandRank：ProfessorJinwangLiu任意域上多元多项式矩阵分解的研究学位类型：学术型学位学科（专业学位类别）：数学作者姓名：李丽华作者

2、学号：15010701004导师姓名及职称：刘金旺教授实践导师姓名及职称：学院名称：数学与计算科学学院论文提交日期：2018年6月学位授予单位：湖南科技大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论

3、文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日摘要多元(n-D)多项式矩阵的分解是多维系统的研究基础。它在很多方面，比如网络理论、Wierer-Hopf方程、控制和系统处理等都有着非常重要的应用。该问题也是近年来数学家们感兴趣的一个热点问题。但由于n-D多项式矩阵对于乘法一般不满足交换律，所以相对于多元多项式的分解(多元多项式的分解本身是交换代数的难点问题之一)，n-D多项式矩阵的分解要

4、困难得多。尽管如此，但经过多位数学家的共同努力，该问题终于取得了一定的进展，并获得了一些重要的结果。如Lin-Bose猜想已经被证明了，该猜想就是n-D多项式矩阵分解这个重要的问题之一。后来，Lin对n-D多项式矩阵的零素分解和子式素分解的存在性又给出了一个易判断的标准和一个构造性的方法。不过这些研究都是在复数域上进行的。本文主要在任意系数域(不一定是复数域，有可能是有限域)上研究某些n-D多项式矩阵的一般因子分解问题和子式素分解问题。对于n-D多项式矩阵的一般因子分解问题，本文在已有成果的基础上获得了一些有益的结果。对于n-D多项式矩阵的子式素分解问题，本文主要研究了两类n-D

5、多项式矩阵，并获得了一些有用的结果。具体说来，这两类n-D多项式矩阵是：一类的最大级子式的最p大公因子是z1f(z2,,zn),另一类的是k1(z1z1k).本文一共分成六个章节。第一章是绪论。第二章是基础知识。第三章主要在已有的几个关键性引理的基础上，将复数域上关于n-D多项式矩阵分解已得到的一些定理拓展到任意域，并得到了任意域K上某些n-D多项式矩阵有一般因子分解的充分条件。第四章探讨了任意域上某两类满足一定条件的n-D多项式矩阵存在MLP分解的问题，得到了它们有子式素分解的一个充要条件是存在它们的一个满秩子矩阵，使得这个满秩子矩阵的既约子式是零互素的(生成单位理想

6、)。第五章分别找出了几个存在一般因子分解和子式素分解的n-D多项式矩阵作为例子。第六章是总结与展望。关键词：多维系统；多元多项式矩阵；矩阵分解；既约子式；单位理想-i--ii-ABSTRACTTheproblemofn-Dpolynomialmatrixfactorizationarebasisresearchobjectsinmultidimensionalsystems.Inrecentyears,itisalsooneofthehotissuesofinteresttotheresearchersbecauseofitswideapplicationinNetworkthe

7、ory,Wiere-Hopfequation,ControlandSignalprocessing,andsoon.However,n-Dpolynomialmatricesfactorizationturnouttobeevenmoredifficultthantheirpolynomialcounterparts,whichisalsooneofthedifficultproblemsinthecommutativealgebra,becausetheringofn-Dpol