工程力学 13能量方法

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1、第1313章能量方法●13.1概述●13.2杆件弹性应变能计算●13.2.1轴向拉伸或压缩线弹性杆件●13.2.2扭转线弹性杆件●13.2.2线弹性梁弯曲●13.3应变能普遍表达式●13.4互等定理●13.4.1功互等定理●13.4.2位移互等定理●13.5卡氏定理●13.6单位载荷法和莫尔积分●13.7计算莫尔积分的图乘法●本章习题●13.1概述固体力学中，把与功和能有关的一些定理统称为能量原理。对构件的变形计算及静不定结构的求解，能量原理都有重要作用。是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。

2、近年来计算力学的兴起使能量原理更受重视。任何固体在荷载作用下都要发生变形，与此同时，荷载的作用点也会发生相应的位移。因此，在弹性体变形的过程中，一方面，固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向的位移，外力因此而做功；另一方面，弹性固体因变形而具备了做功的能力，表明变形体内部储存了应变能。若外力从零开始缓慢地增加到最终值，变形中的每一瞬间固体都处于平衡状态，动能和其他能量的变化皆可不计，则由功能原理可知，固体的应变能在数值上等于外力所做的功W，即V=W(13-1)ε●13.2杆件弹性应变能计算●13.2.1轴向拉伸或压缩线弹性杆

3、件弹性体因外力作用而变形，引起力作用点沿外力方向的位移，外力因而做功。同时，弹性体因变形而储存了能量，称为应变能或变形能。当外力逐渐减小时，弹性体的变形逐渐恢复，它又释放出储存的应变能而做功。例如，内燃机的汽门开启时，汽门弹簧因受压力作用引起压缩变形而储存应变能。当压力逐渐减小弹簧变形逐渐恢复时，它又释放出应变能为关闭汽门而做功。现在讨论轴向拉伸或压缩时F的应变能。设受拉杆件的上端固A定[见图13.1(a)]，作用于下端的拉力由零开始缓慢增加。拉力FF1l与伸长Δl的关系如图13.1(b)所示。在逐渐加力的过程中，拉力F为F时杆件的

4、伸长为Δl。如拉力O∆ld(∆l)B再增加dF，杆件相应的伸长增量为d(Δl)。于是已经作用于杆F件上的拉力F因位移d(d(Δl)而做(a)(b)功，且所做的功为dW=Fd(∆l)图13.1容易看出，dW等于图13.1(b)中画阴影线的微面积。把拉力的增加看做是一系列dF的积累，则拉力所做的总功W应为上述微分面积的总和，它等于F-Δl曲线下面的面积。即∆l1W=∫0Fd(∆l)(13-2)若应力在比例极限的范围内，F与Δl的关系是一斜直线，斜直线下的面积为三角形，故有1W=Fl1∆1①2根据功能原理，拉力所完成的功应等于杆件储存的能

5、量。若省略其他能量(如热能和动能)的微小变化，就可认为杆件内只储存了应变能V，其数量就等于拉力所做的功。ε在线弹性范围内，外力做功由式①表示，于是有1V=W=Fl∆ε211②FlN∆=l由胡克定律，1EA，式②又可写成21FlNVε=W=Fl1∆=1(13-3)22EA显然，式①、式②和式(13-3)中的系数，基于F与Δl的关系是线性的。若力与位移的关系(即σ与ε的关系)不是线性的，自然就没有系数。今后如无特殊说明，一般认为结构满足线弹性的关系。对于F沿杆长变化的情形为NFxx()dNV=ε∫l2EA(13-4)另外由应变能公式导出

6、拉伸的应变能密度公式。单向应力状态应变能密度，即单位体积的应变能，可直接由应力-应变曲线[见图13.2(b)]得到1Fv=σεε2(13-5)Avaε称为比能或应变能密度，单位符号FA是3，由胡克定律，式(13-5)J/mσ=Eε又可写成21σvε=σε=OBOb22E(13-6)B(a)(b)211σ1v=σε=或Eε2(13-7)ε2图13.222E对图13.1(a)所示拉伸情况，在杆件整个体积内，各点受力是均匀的，每一单位体积内储存的应变能都是相同的。以杆件的体积V除应变能Vε，也可得单位体积的应变能VFl∆1εv===σεε

7、V2Al2同理线弹性材料纯切应力状态杆件的应变能密度为21τ12vε=τγ=或Eγ(13-8)22G2●13.2.2扭转线弹性杆件若作用于圆轴上的扭转力偶矩(见图13.3)从零开始缓慢增加到最终值。在线弹性范围内，扭转角ϕ与扭转力偶矩Me间的关系是一条斜直线[见图13.3(b)]，且MlMeeϕ=GIApMeeM与拉伸相似，扭转力偶矩Me所做的功为l21MlOBeW=Mϕ=e22GI(a)(b)p则由式(13-1)，这里T=Me，图13.3扭转应变能为21TlVε=W=Meϕ=(13-9)22GIp当扭矩T沿轴线为变量时，可利用式(

8、13-9)先求出微段dx内的应变能，然后经积分得出2lT()xVε=∫dx(13-10)02GIρ另一方面，由应变能密度公式1Tρτv=τγτ=ε,,γ=2IpG导出扭转应变能2222lτlTρlT()xVε=∫VvVεd=∫∫0Ad