第2章 数学模型2new

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1、张家港校区张家港校区二、数学模型2.2拉氏变换和反变换2.2.1拉氏变换的定义设f(t)是以时间t为自变量的实变函数，那么f(t)拉氏变换的定义为：二、数学模型∞−stF()sf=≡L[]()tf∫()tedt0式中：s是复数，s=σ+jω(σ,ω均为实数)；∞−st∫edt称为拉普拉氏积分；0F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数；f(t)称为F(s)的原函数；2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院12011年11月18日星期五机电与汽车工程学院2张家港校区张家港校区输入x(t)输出y(t

2、)∞−st二、数学模型系统二、数学模型Fs()=≡L[]ft()∫ftedt()0为了获得在输入x(t)作用下的系统响应，即获得y(t)=……，往往需要2.2拉氏变换和反变换通过以下步骤：2.2.4拉氏反变换的定义(1)建立系统数学模型，获得微分方程；2−11σ+∞jstmdx(t)+Cdx(t)+Kx(t)=f(t)ft()=L[]Fs()=>∫Fsedst(),0dt2odtooi2πjσ−∞j(2)获得系统传递函数；——通过拉式变换L-1为拉氏反变换的符号。2ss−+22Gs()=−−11ss−+2−

3、1118141sss(62−−)LL[]Ys()=[]L[]−⋅+⋅+⋅231s5352ss−+sss(6−−)(3)根据输入（设为单位脉冲输入），获得系统响应难易22ss−+22ss−+根据定义进行拉氏反变换计算，一般很难进行，因此要进YsGsXs()==()()ii1=22sss(6−−)(6sss−−)行复变函数积分，通常采用部分分式展开法将复变函数展(4)通过，获得系统响应；——通过拉式反变换开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应−1yt()=L[]Ys()的反变换函数，即得所求的原函数

4、f(t)。2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院32011年11月18日星期五机电与汽车工程学院4张家港校区张家港校区−1118141二、数学模型L[]−⋅+⋅+⋅二、数学模型31s5352ss−+¾部分分式法序号典型函数拉式变换值11单位阶跃1如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：s−at12指数函数f()te=s+aF(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)ω3正弦函数sinωts22+ωs假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反变换可以容易4余弦函数cosωts22

5、+ω地求出，则：15单位脉冲函数lim1ε→0ε-1-1-1-11L[F(s)]=L[F1(s)]+L[F2(s)]+…+L[Fn(s)]6单位速度函数t2s121=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)7单位加速度函数t32s2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院52011年11月18日星期五机电与汽车工程学院61张家港校区张家港校区2s-s+2Fs=()二、数学模型2二、数学模型ss-s-6()在控制理论中，通常：¾F(s)只含有不同的实数极点mm−1B(s)bs+bs+"+bs+bF(s)==

6、01m−1m(n≥m)B(s)AAAnAnn−1F(s)==1+2+"+n=∑iA(s)as+as+"+as+a01n−1nA(s)s+p1s+p2s+pni=1s+pi为了应用部分分式法，将F(s)分母分解成下面形式：式中，Ai为待定常数，称为s=-pi极点处的留数。mm−1Bs()bs++bs"++bsbFs()==01mm−1[]As()(spsp++)()("sp+)Ai=F(s)⋅(s+pi)s=−pi12n⎡⎤nnA式中，p，p，…，p为方程A(s)=0的根的负值，称为于是：f()tF==LL−

7、−11[()]s⎢⎥i=Ae−pit12n∑∑i⎣⎦ii==11sp+iF(s)的极点。2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院72011年11月18日星期五机电与汽车工程学院8张家港校区张家港校区二、数学模型二、数学模型22s−s+2s−s+2例：求F(s)=的原函数。例：求F(s)=的原函数。22s(s−s−6)s(s−s−6)22⎡s2−s+2⎤4解：F(s)=s−s+2=s−s+2=A1+A2+A3A3=[](s+2)F(s)s=−2=⎢⎥=s(s2−s−6)s(s−3)(s+2)ss−3s+

8、2⎣s(s−3)⎦s=−25典型阶跃函数典型指数函数⎡s2−s+2⎤1即：F(s)=−1⋅1+8⋅1+4⋅1A1=[]sF(s)s=0=⎢(s−3)(s+2)⎥=−33s15s−35s+2⎣⎦s=0⎡s2−s+2⎤8−1183t4−2tA=[](s−3)F(s)=⎢⎥=f(t)=L[F(s)]=−+e+e(t≥0)2s=3s(s+2)153155⎣⎦s=32011年11月18日星期五机电与汽车工程学院92011年