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1、第25卷第3期甘肃工业大学学报Vo.l25No.31999年9月JournalofGansuUniversityofTechnologySept.1999文章编号:1000-5889(1999)03-0101-03随机过程性质的应用张民悦(甘肃工业大学基础科学系,甘肃兰州730050)摘要:应用二维Brown运动的常返性质、Markov过程及二维连续局部鞅的一些性质,通过随机分析的方法,对著名的古典问题给出了一个新的证明,证明过程体现了随机分析方法的优越特点.关键词:Brown运动;Markov过程;局部鞅;常返性质;代数基本定理中图分类号:O
2、211.6文献标识码:A本文应用Brown运动及鞅的一些性质给出了一个随机分析方法的具体实例,即用概率方法给出了代数学基本定理的一个证明,从证明中可以较自然地体会到随机分析的一些应用特点.1知识准备+设(K,F,Ft,P),t∈R为基本概率空间,以下所涉及的鞅(martingale)均指在此空间上的随机过程.文[1]中F.B.Knight证明了以下结论:(1)(2)(d)+定理1设M={Mt=(Mt,Mt,…,Mt),t∈R}为d维连续局部鞅,当t→∞时,平方(i)(i)(j)变差过程[M]→∞(a.s.)(i=1,2,…,d).交互变差过程[
3、M,M]t=0(1≤i≠j≤d,t∈+(i)(i)+(1)R).如果f(s)=inf{t≥0;[M]t>s}(s∈R,1≤i≤d),则随机过程B={Bt=(Mf(1)(t),(2)(d)+Mf(2)(t),…,Mf(d)(t))}(t∈R)为d维Brown运动(Wiener过程).下面给出解析函数与局部鞅的复合.设f(z)为一解析函数,则f(z)=U(x,y)+iV(x,y),其中二元实函数U(x,y)和V(x,y)22为一对共轭调和函数,满足Cauchy-Riemann条件,即Ux=Vy,Uy=-Vx,
4、f′(z)
5、=Ux+222Uy=Vx+
6、Vy.又设(xt,yt)为二维连续局部鞅,其中x0=y0=0,[x]t=[y]t=h(t),[x,y]ts+2=0,z=xt+iyt(t∈R).令f(t)=inf{s≥0;∫
7、f′(zu)
8、dh(u)>t}.0t2+定理2如果lim
9、f′(zs)
10、dh(s)=∞(a.s.),则f(zf(t))(t∈R)为复Brown运动.t→∞∫0+证明f(zt)=U(xt,yt)+iV(xt,yt)(t∈R),对U(xt,yt)应用Ito公式,得:ttU(xt,yt)-U(x0,y0)=∫Ux(xs,ys)dxx+Uy(xs,ys)dys+0∫0收稿日期:1
11、998-11-19作者简介:张民悦(1958-),男,河南南乐人,甘肃工业大学副教授.·102·甘肃工业大学学报第25卷ttt1Uxx(xs,ys)d[x]s+Uyy(xs,ys)d[y]s+Uxy(xs,ys)d[x,y]s+2∫0∫0∫0ttt∫Uyx(xs,ys)d[x,y]s=Ux(xs,ys)dxs+Uy(xs,ys)dys0∫0∫0tt同理可得:V(xt,yt)-V(x0,y0)=∫Vx(xs,ys)dxs+Vy(xs,ys)dys0∫0+因此,U(xt,yt),V(xt,yt)(t∈R)为连续局部鞅,它们的平方变差过程分别为tt2
12、2[U(x,y)]t=∫Ux(xs,ys)dh(s)+Uy(xs,ys)dh(s)0∫0tt22[V(x,y)]t=∫Vx(xs,ys)dh(s)+Vy(xs,ys)dh(s)0∫0t2+从而得到:[U(x,y)]t=[V(x,y)]t=∫
13、f′(zs)
14、dh(s)(t∈R)0由简单的计算可知交互变差过程为+[U(x,y),V(x,y)]t=0(t∈R)t2由题设lim
15、f′(zs)
16、dh(s)=∞(a.s.),故由定理1知{U(xf(t),yf(t))}为二维Brown运动.因t→∞∫0+此f(zf(t))(t∈R)为复Brown运动.(证毕
17、)下面叙述二维Brown运动的常返性.(1)(2)(1)(2)+设(xt,yt)=(Bt,Bt)为二维Brown运动.Bt=Bt+iBt(t∈R)为复Brown运动.则+二维Brown运动的常返性质为:对任意开集G,GC,G≠,有P{t∈R,使Bt∈G}=1,其中C为复数域.在文[2]中给出了以下结论:t定理3设f:R→(0,∞)为可测函数,且L{y∈R;f(y)>0}>0,则limf(Ws)ds=t→∞∫0+∞(a.s.).其中L是R上的Lebesgus测度,{Wt,t∈R}为一维Brown运动.由定理3可以给出以下的积分极限估计:+定理4设
18、f(z)为任一非零多项式,{Bt,t∈R}为复Brown运动,则t2lim
19、f(Bs)
20、ds=∞(a.s.)t→∞∫0证明由定理3,有:t(1)lim
