华中师范大学分析力学2(共4)

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1、分析力学作业讲解第二章守恒律杜佳欣dujx@iopp.ccnu.edu.cnhttp://iopp.ccnu.edu.cn/~dujx/�1.2.3.4.7.81.设质点系统的拉格朗日L=T-U其中U=U(,)rṙ是坐标和速度的函数(a)证明：整个系统绕z轴转动角度φ对应的广义动量不再是22Lz=∑mraasinθϕȧa如§1.2.2(2.16)式，而是Npϕ=Lz−∑ezi[ra×∂U/∂ṙa]a=1(b)已知在电磁场中电荷为e的粒子U=eϕ−eυ⋅A，其中φ和A是电磁场的表示和矢势，求广义动量p。ϕ解：由广义动量的定义：

2、∂L∂Up==mṙ−aα∂r∂rαα可得NN⎡∂U⎤pϕ=eLz⋅=∑[ra×pa]z=∑⎢ra×(mṙα−)⎥a=1a=1⎣∂rα⎦zNN⎡∂U⎤=∑[ra×mṙα]z−∑⎢ra×⎥a=1a=1⎣∂rα⎦z上式得第一项已在课本中求出，那么将值代入即得N⎡∂U⎤pϕ=∑⎢ra×(mṙα−)⎥a=1⎣∂rα⎦zN⎡∂U⎤=Lz−∑⎢ra×⎥a=1⎣∂rα⎦z(b)将带电粒子的是能表带式代入上式可得：N⎡∂(eϕ−eυ⋅A)⎤pϕ=Lz−∑⎢ra×⎥a=1⎣∂rα⎦zN=Lz−e∑[ra×A]za=1N=Lz−e∑⎡⎣xAay

3、a−yAaxa⎤⎦a=12.质量为M半径为a的半球形碗，放在光滑的水平桌面上，如图1。有一个质量为m的滑块沿碗的内壁无摩擦的滑下。用α表示滑块位α=α置与球心连线和竖直方向的夹角。这个系统起始时静止且0。α=αα̇求滑块滑到1时的值。解：系统的拉格朗日为：L=1m⎡(Ẋ+aα̇cos)α2+(aα̇sinα)2⎤+1MẊ2−mga(1cos)−α2⎣⎦2=1mX(̇2+2aẊα̇cosα+a2α̇2)+1MẊ2−mga(1cos)−α22那么∂L̇̇̇∂L=maẊcosα+ma2α̇=mX(+aαcos)α+MX∂Ẋ∂

4、α̇∂L=0∂L=−maẊα̇sinα−mgasinαα∂X∂α则对应的拉格朗日方程为dO⎡mX(̇+aα̇cos)α+MẊ⎤=0⎣⎦dtXd(maẊcosα+ma2α̇)=−maα̇sinαẊ−mgasinαx=X+asinαdt化简得d(mM+)(aα̇cosα)=−Ẋ̇dtmẊ̇cosα+aα̇̇=−gsinα将上面第二式写成̇̇−aα̇̇−gsinαX=cosα再带入第一式得2(mM+)(aα̇̇cosα−aα̇sinα)=(aα̇̇+gsinα)mcosα2(M+msinα)amasinαcosα̇̇̇2α+

5、α=−gsinα(mM+)(mM+)dα̇dαα̇ddα̇利用α̇̇===α̇，即得dtdαdtdα2(M+msinα)amasinαcosα̇̇̇2ααd+αdα=−gsinααd(mM+)(mM+)注意到等式左边是一个全微分，积分即得2(mMg+)(cosα1−cosα0)α̇=2(M+msinα)a1质量为M半径为a的半球形碗，放在光滑的水平桌面上，如图1。有一个质量为m的滑块沿碗的内壁无摩擦的滑下。用α表示滑块位置与球心连线和竖直方向的夹角。这个系统起始时静止且α=α0。求滑块滑到α=α1时α̇的值。解：由于系统在水平方向

6、不受力，所以系统在水平方向上的动量守恒：mυcosα+MV=0在有能量守恒得到1212mυ+MV=mga(cosα−cosα0)22式中的υ和V为滑块和半球形碗相对于地面的速度。而222υ=(V+aα̇cosα)+(aα̇sinα)υcosα=V+aα̇cosα代入可得mV(+aα̇cosα)+MV=0α121212mV(+aα̇cosα)+ma(α̇sinα)+MV222=mga(cosα−cosα0)m由第一式得V=−aα̇cosα，代入第二式得mM+221⎛M⎞121⎛m⎞m⎜aα̇cosα⎟+ma(α̇sinα)+M⎜aα

7、̇cosα⎟2⎝mM+⎠22⎝mM+⎠=mga(cosα−cosα0)化解可得2M+msinα2(aα̇)=2ga(cosα−cosα0)(mM+)即：2(mMg+)(cosα−cosα0)α̇=2(M+msinα)a当α=α时12(mMg+)(cosα1−cosα0)α̇=2(M+msinα)a13.质量为m的质点在三维空间中运动，势能是⎧0z>0U=⎨⎩−Uz≤00证明之一质点由z>0区域经过分界面进入z<0区域的运动轨迹等同于光线从空气入射到折射率为n=1+U0/E的介质所受到的折2射。其中，E=mυ1/2是质点在z>0区域

8、中的动能。解：系统具有xy平面内的平移对称性，所以动量的x，y分量守恒：p=p,p=p1x2x1y1yp1又系统的能量守恒，则有zθ221ppE=1=E=2−U1202m2mθp22那么，则有22pp2=1+U02m2m即：2p2=+1U/E20p