概率模型与应用

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1、万方数据第10卷第4期2010年8月潍坊学院学报JournalofWeifangUniversityV01．10No．4Aug．2010概率模型与应用’孙建安(潍坊学院，山东潍坊261061)摘要：本文通过几个实例说明了概率模型思想与方法在解决数列极限、级数和、数学证明等方面的应用。关键词：概率模型；随机变量；分布中图分类号：0211文献标识码：A文章编号：1671--4288(2010)04一0083—03数学问题的证明是数学研究中的主要内容，其证明方法多种多样，用概率论的知识也可以解决一些确定性现象为主要研究对象的数学学科中的问题，

2、本文将举例说明如何利用概率模型思想与方法解决一些代数、分析中的问题，一方面显示出概率模型思想与方法在数学解题中的简明性，另外也表现了数学分支之间的深刻联系。利用概率思想与方法的关键，是根据不同的数学问题建立相应的概率模型，然后利用概率论中的相关知识，求解问题。1选择合适的随机变量求数列极限例1设口。=(1+罱+玎n2+⋯万nn)e一，证明：nn一号(咒一。。)。分析：题目中口。的分母含有阶乘形式，分子中是门的乘方，特别是P1的形式，从而可以考虑与之相关的概率模型一泊松分布。证明设随机变量a，邑⋯邑，⋯独立同分布，都服从参数为1的泊松分布

3、。那么E(8)一1，D(￡)一l，(i一1，2，⋯)设协=∑e，则E(珈)=竹，D(伽)一咒，且协服从参数为以的泊松分布。由题设知口。=夕{啦≤，z}。由林德贝尔格一勒维中心极限定理得妙{擎≤托石1南“。一lira。。n。=!鲤Pt聃≤竹，=!受{气尹≤。}一』!-。。去e一乎如=丢。例2设口。一刍(1+虿1c：『1+壶晖；+⋯+刍c磬-)，证明：口。一号(咒一o。)。分析：题目中口。的分母是击形式，应该考虑几何分布，同例1类似括号中的要求考虑独立随机变量的和的分布一帕斯卡分布。证明设随机变量＆，已⋯已，⋯独立同分布，都服从参数为寺的几

4、何分布。那么E(￡)一2，D(8)=2，(i=1，2，⋯)设伽=∑￡，则E‘协)=2n，D(珈)=2n，且协服从参数为”的帕斯卡分布。*收稿日期：2009—11—20作者简介：孙建安(1967一)，男，山东寿光人，潍坊学院数学与信息科学学院副教授。万方数据耀坊学院学报2010年8月======；=========；======；====2===========自===一由题设知口。=户{啦≤2n}。下面的证明同例1，略。2构造概率模型求级数和例3已知无穷级数酽I+(1+砉)孝+(1一壶)(1一击)嘉+⋯+(1～丢)(1一刍)．．·(1一

5、嘉’石{靠+⋯试求它的和。解构造如下的概率模型：一个袋中装有一个白球和一个型号相同的红球，有放回的取两次，若两次取出的都是白球，记为成功。假如失败了，就再放入一个型号相同的红球。这样继续下去，以至无穷。如果试验成功，则得到奖励，计算得奖的概率。分析上述试验，知(1)第一次试验成功，其概率为击(2)第一次失败，而第二次成功，其概率为(1一嘉)去‘3’第一、二次试验连续失败，第三次试验成功，其概率为(1一刍)(1一刍’矿1这个实验一直进行下去，那么得奖的概率可表示为驴1+c，一专，酽1+c，一专，c·一言，丢+⋯+c·～丢，c，一当卜·c·

6、一嘉，石{奇+⋯因为在各次的试验中失败的概率依次是1——砉，1——壶，⋯，l——；：1手，⋯所以，所有各次试验都失败的概率为!鲤c·一扣一扣c-一扣墅c等c争卜·c宰，=。l—im。盟二呈丛生!堕=丞多；暑兰笔窘j导萼萼皇上_必=一lira。警一号这个结论说明不能得奖的概率为专。当然，得奖的概率为1一号一虿1，即所求级数的和为专。例4证明：∑C：(砣～1)卜1=∥。证明构造概率模型：从1，2，⋯以共n个正整数中随机取数，每次只取一个正整数，取后放回，连取志个数，假定每个正整数都以寺的概率被取出，考虑这愚个数中恰好出现i次l的事件A(i—

7、o，1，⋯，忌)的概率，易知P(Ai)：垡芈，净o，1，⋯，忌Ⅳ由于。U0Ai=o，且AtnAj=①，i≠J，则∑P(A，)=夕(n)一1，故∑G(n一1)卜f=∥。3构造概率模型证明问题例5，(z)为[o，+oo)上的有界函数，且^(z)=∑，(z+k拧)C：h‘(1一^)一·，证明：limf．(z)：万方数据第4期孙建安：概率模型与应用／’(z)，z∈LO，+oo)。证明设独立随机变量序列{rli)同服从参数为h两点分布，则已=∑孕服从二项分布，即P{己=k}=a矗6(1一^)”‘，k=0，1，2，⋯从而El-f(z+鲁)一f(x+

8、^)]蚤[厂(z+鲁)一厂(z+矗)]c轨‘(1一矗)州=L(z)一厂(z)(1)又由厂(z)在[o+co)上连续知：对V艿>0，及z∈[o，+oo)，存在艿>0，当Iy—zI<艿时，恒有l厂(3，)一厂(