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1、2009水木艾迪考研辅导基础班清华东门外同方广场B座609电话：62701055第9讲常微分方程(一)9.1微分方程的基本概念9.1.1引言定义9.1包含未知函数的导数或微分的方程式就称为微分方程.ò微分方程是用函数与导数的关系式表达(一类)函数的一种方法。定义9.2如果未知函数为一元函数，则该微分方程称为常微分方程。ò微分方程的基本问题:列方程；解方程；解的定性研究。ò微分方程的基本研究方法9.1.2微分方程的分类：定义9.3方程中出现的最高阶导数的阶数称为这个微分方程的阶.òn阶常微分方程的一般形式为2n−1()ndydydyy=f(x,y,,,..
2、.,)2n−1dxdxdx定义9.4如果在上述方程中,函数f关于未知函数y及其各阶导dy2n−1dydy,,...,都是一次整式,则称这个方程是线性微分方程,dxdx2dxn−1否则称为非线性微分方程.òn阶线性常微分方程的一般形式为nn−1dydydy+a()x+...+a()x+a()xy=f(x),nn−1n−110dxdxdx其中a()x,(i=0,1,...,n−1),f(x)是已知函数.iòf(x)≡0，微分方程称为n阶齐次线性常微分方程。ò否则微分方程称为n阶非齐次线性常微分方程。9.1.3“解”的概念定义9.5满足微分方程的函数，称为该方
3、程的解。即将此函数代入方程，使其成为恒等式。更细致一点，如果函数y=y(x)在区间I上具有n阶导数,且将其代入某n阶微分方程之后,使之成为恒等式,则称函数y=y(x)是清华大学谭泽光12009水木艾迪考研辅导基础班清华东门外同方广场B座609电话：62701055方程在区I上的一个解定义9.6微分方程的解中都包含了若干任意常数.一般情况下,在n阶微分方程的解中含有n个独立的任常数cc12,,...,cn,也就是说,n阶微分方程的解的表达式为y=f(,,,...,)xcc12cn这种包含了n个任常数称为微分方程的通解（一般解）.定义9.7一个微分方程虽然可
4、以有无穷多个解,若从中确一个所需要的解.则需要对微分方程附加某些条件,即所谓定解条件.适合定解条件的解称为微分方程的特解.ò对于n阶微分方程,为了从通解中找到所需要的解,需要附加n个初始值条件,即n−1⎧()ndydy⎪y=f(x,y,,...,)=0n−1⎨dxdx⎪y()x=y,y′()x=y′,?,y()n−1()x=yn−1⎩000000这样的定解条件称为初值条件,上述问题就称为初值问题.2−x例9.1三个函数y(x)=Ce+1,y(x)=C,1122y(x)=y(x)+y(x),y(x)=y(x)+y(x)−x,其中C,C31241212为任意
5、常数，是否是下列四个方程之解，若是解，是什么解？2(1)y′=2x()1−y;(2)xy′′−(1−2x)y′=0;22(3)xy′′−(1−2x)y′=1−2x.【解】根据解的概念，直接代入验证可知：y(x)是方程(1)的通解；当C=1时，y(x)是方程(2)的一个特解；122y(x)和y(x)都是方程(2)的解,y(x)是方程(2)的通解；123y(x)是方程(3)的通解.4−x例9.2设y=e,y=2x是三阶线性齐次常系数常微分方程12y′′′+ay′′+by′+cy=0的两个解,则a,b,c的值分别为（）.A.a=2,b=1,c=0;B.a=1,
6、b=0,c=0;清华大学谭泽光22009水木艾迪考研辅导基础班清华东门外同方广场B座609电话：62701055C.a=1,b=0,c=1;D.a=−1,b=0,c=0.−x【解】y=e是解：−1+a−b+c=0，1y=2x是解：2b+2cx=0，∀x∈(−∞,+∞)，可得到b=0,c=0。2由前者得：a=1。答案:Bxy⎛y⎞⎛y⎞例9.3己知y=是方程y′=+ϕ⎜⎟之解，则ϕ⎜⎟的lnxx⎝x⎠⎝x⎠表达式为(A)2222⎛y⎞⎛y⎞⎛x⎞⎛x⎞(A)−⎜⎟;(B)⎜⎟;(C)−⎜⎜⎟⎟;(D)⎜⎜⎟⎟.⎝x⎠⎝x⎠⎝y⎠⎝y⎠xy⎛y⎞【解】将y=
7、代入方程y′=+ϕ⎜⎟lnxx⎝x⎠lnx−1y⎛y⎞xlnx−1y′==+ϕ⎜⎟，且y=，y′=22()lnxx⎝x⎠lnx()lnxx−12⎛y⎞lnx−1yyy⎛y⎞ϕ⎜⎟=2−=2−=−⎜⎟。⎝x⎠()lnxx⎛x⎞x⎝x⎠⎜⎜⎟⎟⎝y⎠x−x12例9.4已知f′(e)=xe，且f(1)=0,则f(x)=(lnx).2xlnt12【解】令t=e,f′(t)=，f(x)=(lnx)+Ct2f()1=0⇒C=02x⎧xy′′+3xy′=1−e例9.5已知函数y=y(x)满足条件⎨⎩y(0)=y′(0)=02问A满足什么条件时可∀x≥0有（x>0）？y
8、(x)≤Ax。2【解】设f(x)=Ax,则f(0)=f′(0)=y(0)=y′(
