概率论与数理统计1new

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1、第一章随机事件及其概率§1.1随机事件一、随机试验和随机事件1．随机试验（记为E）若试验满足条件：(1)可以在相同条件下重复进行；(2)所有可能结果事先已知；(3)作一次试验究竟哪一个结果出现，事先不能确定，则称该试验为随机试验．2．基本事件随机试验的每一个不可发分解的结果成为试验的一个基本事件（样本点）用记号ω表示．3．样本空间所有基本事件（样本点）的集合称为样本空间，用记号Ω表示．4．随机事件样本空间Ω的一个子集，用记号A,B,C等表示．5．必然事件在一定的条件下，每次试验中一定要发生的事件，用

2、记号Ω表示．6．不可能事件在一定的条件下，每次试验中一定不发生的事件，用记号Φ表示．二、事件的关系及其运算1．事件的包含若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为B⊃A或A⊂B．2．事件的相等若A⊂B且B⊂A，则称事件A与B相等，记为A=B．3．事件的和（并）事件A与事件B的和（并）是一个事件C，它表示事件A与事件B中至少有一个发生，记为C=A∪B或C=A+B．n个事件A1,A2,⋯,An的和（并）是一个事件C，它表示n个事件A1,A2,⋯,An中至少有一个事件发生，记为nn∪A∑A

3、C=A∪A∪⋯∪A12n=i=1i=i=1i无穷多个事件A1,A2,⋯,An,⋯的和（并）是一个事件C，它表示无穷个事件A1,A2,⋯,An,⋯中至少有一个事件发生，记为∞∞C=∪Ai=∑Aii=1i=1．4．事件的积（交）事件A与事件B的积（交）是一个事件C，它表示事件A与事件B同时发生，记为C=A∩B或C=AB．n个事件A1,A2,⋯,An的积（交）是一个事件C，它表示n个事件A1,A2,⋯,An同时发生，记为n∩AC=A1∩A2∩…∩An=i=1i=A1A2⋯AnA,A,⋯,A,⋯A,A,⋯,

4、A,⋯无穷多个事件12n的积（交）是一个事件C，它表示无穷个事件12n同时发生，记为∞∩AC=i=1i．5．事件的差事件A与事件B的差是一个事件C，它表示事件A发生而事件B不发生，记为C=A−B．A∩B=Φ6．互斥事件（不相容事件）若事件A与事件B不能同时发生，即，则称事件A与事件B为互斥事件（不相容事件）．A,A,⋯,A若事件组12n中任意两个都是互斥的，则称该事件组是互斥事件组．同一样本空间中任意两个基本事件都是互斥的．7．对立事件（逆事件）“事件A不发生”的事件称为事件A的对立事件.A的对立事

5、件记为A．关于对立事件，有性质∪A(1)A=Ω（必然事件）；(2)A∩A=Φ（不可能事件）；(3)A=A．两个互为对立的事件，一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件．§1.2事件的概率一、概率的统计定义在某一不变的条件下，重复作n次试验，当试验次数n较大时，如果事件A的频率稳定在某一数值pp的附近，而且一般来说随着试验次数的增大，这种摆动的幅度越来越小，则称为事件A在已知条件下发生的概率，记为P(A)=p．二、概率的古典定义设随机试验E的样本空间Ω={ω1,ω2,⋯,ωn}，n为有限正整数，

6、且每个样本点ω(i=1,2,⋯,n)i出现的可能性相等，则事件A出现的概率为m事件A中所含的基本事件数mP(A)==(1≤m≤n)n样本空间Ω所含基本事件数n．三、概率的公理化定义P(A)设随机试验E的样本空间为Ω对于E的每个随机事件A，都有实数与其对应，如果它满足三条公理：P(A)≥01．（非负性）．P(Ω)=12．（规范性）．3．（可列可加性）如果在随机事件A1,A2,⋯,An,⋯中，Ai∩Aj=Φ(i≠j,i,j=1,2,⋯)则有∞∞P(∪A)=P(∑Ai)i=1i=1则称P(A)为事件A的概

7、率．四、概率的性质（由公理化性质推导出）性质1（有限可加性）设n个随机事件A1,A2,⋯,An两两互斥，则nnP(∪A)=P(∑Ai)i=1i=1性质2对于任意随机事件A，有P(A)=1−P(A)性质3设A⊂B，则有P(B−A)=P(B)−P(A)P(A)≤P(B)A,B性质4（加法公式）设为任意两个随机事件，则有P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)性质可推广为：对于n个随机事件A1,A2,⋯,An，有nP(A1∪A2∪⋯∪An)=∑P(Ai)−∑P(AiAj)+i=11≤i

8、P(AiAjAk)+⋯+(−1)P(A1A2⋯An)1≤i

9、A)率，记为．A,BP(A)>02．计算公式设是两个随机事件且,则P(AB)P(B

10、A)=P(A)．二、乘法公式A,B1．乘法公式设为两个随机事件，则有P(AB)=P(A)P(B

11、A)(P(A))>0=P(B)P(A

12、B)(P(B))>0．2．乘法公式的推论对于任何正整数n≥2