最优控制理论应用问题

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1、最优控制理论应用问题本文中列举的是一些运用最优控制理论的例子(个别例子是本人在网上用网名解答的).欢迎遇到类似问题的朋友一起商讨.I.求解如下变分问题:Z1ming2(x)dx;0Z1Z1s:t:xg(x)dx=1=6;g(x)dx=1;g(x)¸0:00本题解答请参见:11I.解：引入方程(视函数g(¢)为控制函数u(¢))801>>xu(x)>>dy>>=@A;x2[0;1];>>dx>>u(x)<>>>>01>>0>>>>y(0)=@A;:0以及指标Z1J(u(¢))=u2(x)dx;0则问题就化为在约束条件011=6y(

2、1)=@A1下，在函数集¯2¯U´fu(¢)2L[0;1]¯u(x)¸0g中最小化泛函J(¢).这是一个典型的最优控制问题.不难证明这个问题的解是存在惟一的.现设(¹y(¢);u¹(¢))为最优对,则由文献[1]中第五章定理3.1,并参见该章注记6,有ù0·0和ù(¢)满足ù2+jù(x)j2>0;8x2[0;1];0dù=0;dx以及如下的最大值条件：01xu¹(x)ùu¹2(x)+hù(x);@Ai0u¹(x)01nxuo=maxùu2+hù(x);@Ai;a:e:x2[0;1]:0u¸0u即存在不全为零的

3、常数a·0,b;c2IR,使得au¹2(x)+bxu¹(x)+cu¹(x)=max(au2+bxu+cu);u¸0a:e:x2[0;1]:(1.1)2接下来的事情，一般没有统一的笔算方法，解的具体表达式往往也是解不出来的.但本例恰好可以求出解的表达式.具体地,我们需要对a;b;c的取值情况进行讨论.首先可以断定a不会是0,否则,注意到必要条件告诉我们(1.1)式中的最大值是几乎处处存在的，因而应该有bx+c·0;a:e:x2[0;1]:进一步,由于a;b;c不全为零(从而b;c不全为零),又可以得到bx+c<0;a:e:x2[0

4、;1]:从而u¹(x)=0;a:e:x2[0;1]:由于u¹(¢)´0不满足约束条件,因此这是不可能的.1接下来，就有a<0,显然，此时不妨假设a=¡.我们再对b;c的2情况进行讨论.不难由(1.1)得到8>>0;u¹(x)=a:e:x2[0;1]:(1.2)>>:0;bx+c·0;情形I:b+c¸0;c¸0.即bx+c¸0;8x2[0;1]:此时由(1.2),u¹(x)=bx+c;a:e:x2[0;1]:由约束条件得8>>b<+c=1;2>>bc1:+=:3263解得b=¡4;c=3,与b+c¸0矛盾.情

5、形II:b+c·0;c·0.即bx+c·0;8x2[0;1]:此时由(1.2)得u¹(x)=0;a:e:x2[0;1]:显然与约束条件矛盾.情形III:b+c>0;c<0.即bx+c在[0;1]上先负后正,此时必有b>0,且由(1.2),8>><0;x2[0;¡c=b];u¹(x)=a:e:x2[0;1]:>>:bx+c;x2(¡c=b;1];由约束条件得8>>b¡c2¢¡c¢<1¡+c1+=1;2b2b>>b¡c3¢c¡c2¢1:1++1¡=:3b32b26整理得8>>2cc22<1++=;bb2b>>3cc31:1+¡=:2

6、b2b32b注意到3cc31+¡2b2b32c1¡cc3¢=1++¡¡b2bb3r2ccc3¸1++bbb321=>:b2b我们就得到矛盾.情形IV:b+c<0;c>0.即bx+c在[0;1]上先正后负,此时必有b<0,4且由(1.2),8>>>:0;x2(¡c=b;1];由约束条件得8>>c2c2<¡=1;2bb>>c3c31:¡+=:3b22b26解得b=¡4;c=8;以及8>><8¡4x;x2[0;1=2];u¹(x)=a:e:x2[0;1]:(1.3

7、)>>:0;x2(1=2;1];由上面的讨论可见,(1.3)定义的u¹(¢)是惟一满足最大值原理和约束条件的控制,因而它必然是最优控制.8最后我们可以算得该变分问题的泛函最小值为.35参考文献[1]雍炯敏,楼红卫.最优控制理论简明教程.北京:高等教育出版社.2006.6