最优控制理论及应用.ppt

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1、最优控制理论与应用第一章最优控制问题的一般概念第二章最优控制的变分方法第三章极小值原理及其应用第四章线性二次型问题的最优控制第五章动态规划7/30/20211一基本概念最优控制理论中心问题：给定一个控制系统（已建立的被控对象的数学模型），选择一个容许的控制律，使被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极小值（或极大值）第一章最优控制问题的一般概念7/30/20212二最优控制问题1例子飞船软着陆问题宇宙飞船在月球表面着陆时速度必须为零，即软着陆，这要靠发动机的推力变化来完成。问题是如何选择一个推力方案，使燃料消耗最小。m飞船的质量，h高

2、度，v垂直速度，g月球重力加速度常数，M飞船自身质量F燃料的质量7/30/20213软着陆过程开始时刻t为零K为常数，初始状态末端条件7/30/20214性能指标控制约束任务：满足控制约束条件下，求发动机推力的最优变化律，使登月舱由初始出发点到达目标处（末态），并使性能指标达到极值（燃耗量最小）7/30/20215例2火车快速运行问题设火车从甲地出发，求容许控制，使其到达乙地时间最短。m火车质量；火车加速度；u（t）产生加速度的推力且火车运动方程7/30/202162问题描述(1)状态方程一般形式为为n维状态向量为r维控制向量为n维向量函数给定控

3、制规律满足一定条件时，方程有唯一解7/30/20217(2)容许控制：,(3)目标集n维向量函数固定端问题自由端问题7/30/20218(4)性能指标对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标积分型性能指标，表示对整个状态和控制过程的要求终点型指标，表示仅对终点状态的要求7/30/20219最优控制的应用类型积分型1）最小时间控制2）最小燃耗控制3）最小能量控制7/30/202110末值型复合型1）状态调节器2）输出跟踪系统7/30/202111最优控制的研究方法解析法：适用于性能指标及约束条件有明显解析式数值计算方法：性能指标比较复杂1）一

4、维搜索法：适合单变量求极值2）多维搜索法：适合单变量求极值梯度法：解析与数值方法相结合1)无约束梯度法2)有约束梯度法7/30/202112第二章最优控制中的变分法2.1泛函与变分法基础平面上两点连线的长度问题其弧长为7/30/202113一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为。，称为泛函。，称泛函的宗量泛函定义：x(t)是自变量t的函数，若对每个函数x(t)，有一个J值与之对应，则变量J称为依赖于x(t)的泛函，记J(x(t))例举：7/30/202114线性泛函与连续泛函：线性泛函泛函对宗量是线性的连续泛函若定义在线性赋范空间

5、上的泛函又满足连续条件，称J(x)为连续线性泛函7/30/202115泛函与函数的几何解释宗量的变分泛函的增量泛函的变分Jd=7/30/202116定理2.1泛函的变分为7/30/202117例2.1求泛函的变分7/30/202118泛函的极值定理2.2若泛函有极值，则必有7/30/202119变分学预备定理7/30/2021202.2欧拉方程(1)无约束泛函极值的必要条件定理2.3设有如下泛函极值问题：及横截条件7/30/2021212.2欧拉方程变分分部积分证明：7/30/202122例2.2求平面上两固定点间连线最短的曲线，直线7/30/

6、202123例2.3：已知边界条件为求使泛函达到极值的轨线解：7/30/2021242.2欧拉方程(2)有等式约束泛函极值的必要条件定理2.4设有如下泛函极值问题：及横截条件7/30/202125例2.4：设人造地球卫星姿态控制系统的状态方程为7/30/2021262.3横截条件讨论：A.B.C.D.7/30/202127左端固定右端沿曲线变动横截条件C的推导7/30/2021287/30/202129例2.5设性能指标泛函末值时刻未定，已知，解：由欧拉方程得由x(0)=1求出b=1；由横截条件知7/30/2021307/30

7、/2021312.4含有多个未知函数泛函的极值泛函欧拉方程边界值横截条件7/30/2021322.5条件极值状态方程泛函引进乘子构造新的函数和泛函欧拉方程约束方程7/30/202133例2.6泛函约束方程边界条件试求使泛函有极值。解：化为标准形式把问题化为标准形式，令7/30/202134约束方程可定为边界条件为7/30/202135引进乘子构造函数欧拉方程7/30/202136解出其中，和为任意常数。代入约束方程，并求解可得将利用边界条件，可得：7/30/202137于是，极值曲线和为：7/30/202138问题：确定最优控制和最优轨线，使系统

8、由已知初态转移到要求的目标集2.6变分法解最优控制问题并使指定的目标泛函达到极值7/30/2021392.6.1末端时刻固定时最优解的必