《混沌理论及应用》PPT课件

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1、混沌理论及应用龙敏Email:scultm@sohu.comTel:13973129143混沌的概念：混沌（chaos）又称浑沌，人们通常用它来描述混乱、杂乱无章、乱七八糟的状态，在这个意义上它与无序的概念是相同的。一、混沌的基本概念及特征1．确定性在混沌系统中，描述系统演化的动力学方程的确定性，是指方程(常微分方程、差分方程、时滞微分方程)是非随机的，不含任何随机项。系统的未来(或过去)状态只与初始条件及确定的演化规则有关，即系统的演化完全是由内因决定的，与外在因素无关。这是至关重要的一条限制，所以我们现在讲的混沌也叫“确定性混沌”。正因为确定性的系统出现了

2、复杂行为，也叫内随机性，人们才兴奋起来，才一往倾心地钻研混沌。当然，从长远的观点来看，人们肯定会研究带有随机项的更复杂系统的非周期运动。然而，目前由于公众对混沌还有相当的误解，所以我们严格区分是否为确定性至关重要，还不能笼统地从现象的层次把一大堆似是而非的东西都称为混沌。总之，混沌概念的狭义化总比泛化好些。现在我们考虑的混沌主要是一种时间演化行为，不直接涉及空间分布变化，所以暂不考虑偏微分方程。例：Lorenz系统Logistic映射2．非线性产生混沌的系统一定含有非线性因素，有了非线性未必产生混沌，但没有非线性是肯定产生不了混沌的。也就是说，非线性是产生混沌

3、的必要条件。从功能上看，非线性是通过线性来定义的，设G1和G2是任意两个(向量)函数，a和b是任意两个常数，若算子乙满足如下叠加原理:L(aGl+bG2)=aL(G1)+bL(G2)，则称L是线性算子，否则L是非线性算子。包含非线性算子的系统称为非线性系统。应当注意的是线性与非线性也不是绝对分明的。对于某些复杂现象，在一定条件下，既可以把它视为非线性现象也可以把它视为线性现象，这与人们看问题的角度和所关心的变量的时空尺度不同有关。现在看来，非线性是普遍存在的，多数问题不能通过线性的办法或线性化的办法来解决，因而直接面对非线性是不可避免的。3．对初始条件的敏感依赖性

4、1963年，洛伦兹发表了关于混沌理论的开创性研究，并提出了形象的“蝴蝶效应”。被冷落了12年之后，1975年数学家吕埃尔和塔肯斯建议了一种湍流发生机制，认为向湍流的转变是由少数自由度决定的，经过两三次突变，运动就到了维数不高的“奇怪吸引子”上。这里所谓“吸引子”是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态：它可能是稳定的平衡点，或周期性的轨道；但也可能是继续不断变化、没有明显规则或次序的许多回转曲线，这时它就称为“奇怪吸引子”。奇怪吸引子上的运动轨道，对轨道初始位置的细小变化极其敏感，但吸引子的大轮廓却是相当稳定的。真实球虚拟球今天，“蝴蝶效应”几乎成了混沌现象

5、的代名词。1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，

6、因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。逻辑斯蒂映射的形式为Example:f(xn+1)=4xn(1-xn)brown:x0=0.6green:x0=0.6001Example:f(xn+1)=4xn(1-xn)brown:x0=0.37green:x0=0.3701Example:f(xn

7、+1)=4xn(1-xn)i)系统的变化看似毫无规则，但实际上是有迹可寻的。ii)系统的演化对初始条件的选取非常敏感，初始条件极微小的分别（就例如0.6和0.6001仅仅相差六千分之一），在一段时间的演化后可带来南辕北辙的结果。典型连续混沌系统——Chen系统典型连续混沌系统——Lorenz系统典型连续混沌系统——RÖssler系统典型连续混沌系统——Chua系统典型离散混沌映射典型离散混沌映射4．非周期性在数学和物理学中，周期性的定义是很明确的。对于函数f(x)，若能找到一个最小正数t满足关系f(x+t)=f(x)，则称f(x)是周期函数，t为其周期；否