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《多元统计分析第一章_矩阵补充》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1章矩阵知识补充矩阵是多元统计分析的基本工具。考虑读者已学过线性代数，本章补充一些必不可少的矩阵知识，作为多元统计分析的基础。未学过线性代数的读者，可以先自学一本线性代数书，再阅读本章。本书中向量和矩阵全用黑体字表示。以a,...a为对角线上元素的矩阵记为diag(a,...a),即1k1kéa10ùêúdiag(a,...a)=...1kêúê0aúëkû1.1矩阵的谱分解定理1.1（矩阵的谱分解）设实对称矩阵A的特征值和相应的单位特征向量是l,...l,e,...e，其中e,...e两两正交；则1k1k1kA=
2、lee'+...lee'。(1.1)111kkk证明因为A实对称，存在正交阵T，使得A=TLT'，其中T=[ee...e]12k是以e,...e为元素的分块矩阵；1kL=diag[ll...l]12k是对角阵，对角线上元素为l,...l。于是1kél10...0ùée1'ùêúêú0l...0e'[]ê2úê2úA=ee...e。12kê............úê...úêúêúë0...0lkûëek'û根据分块矩阵乘法原理，A=lee'+...lee'。111kkk定义1.1（1.1）式称为A的谱分解。当特征值
3、无重根时，单位特征向量在不计正负号条件1下是唯一的，即同一个矩阵只有同一形式的谱分解。当特征值有重根时，由于单位特征向量不唯一，同一个矩阵可以有不同形式的谱分解。例1.1é2-20ùêúA=-21-2。êúêë0-20úû的特征值和相应的单位特征向量是é-2/3ùé2/3ùé1/3ùêúêúêú1,4,-2,-1/3,-2/3,2/3êúêúêúêë2/3úûêë1/3úûêë2/3úû所以é-2/3ùé2/3ùA=1ê-1/3ú[-2/3,-1/3,2/3]+4ê-2/3ú[2/3,-2/3,1/3]êúêúêë2
4、/3úûêë1/3úûé1/3ù+(-2)ê2/3ú[1/3,2/3,2/3]êúêë2/3úû例1.2（谱分解形式不唯一）若é40ùA=êúë04ûA的特征值为1，1；相应的特征向量是écosaùé-sinaùe=，e=ú1êú2êësinaûëcosaû其中a是任意常数。A的谱分解就可以是A=4ee'+4ee'1122-1-1-1容易证明，当l,...l全不为零时，A=lee'+...lee'。1k111kkk1.2矩阵开平方与比较定义1.2（半正定矩阵）设A为实对称矩阵，对任何实向量x有x'Ax³0，则称A2为
5、半正定矩阵。容易看出，正定矩阵也是半正定矩阵，且有定理1.2正定矩阵的特征值必为正实数。半正定矩阵的特征值必为非负实数。定义1.3（半正定矩阵的算术平方根）：设A是半正定矩阵，它的谱分解是A=lee'+...lee'，则111kkk111A2=l2ee'+...l2ee'(1.2)111kkk称为A的算术平方根，简称为A的平方根。显然，当特征根无重根时，半正定矩阵谱分解形式上唯一，从而矩阵的平方根是唯一的。当特征根有重根时，学者可以自证：半正定矩阵谱分解形式上不一定唯一，但这时矩阵的平方根是唯一的。例如é40ùA==
6、4ee'+4ee'êú1122ë04û其中écosaùé-sinaùe=，e=ú1êú2êësinaûëcosaû这时é20ù1/2A=2ee'+2ee'=1122êúë02û与a无关。例1.3é13-42ùêúA=-413-2êúêë2-210úû的特征值和相应的单位特征向量是é-1ùé2ùé1/2ùê18úê3úêúê1úê-2ú9,9,18,ê1/2ú,êú,êú，êúê18úê3úë0ûê4úê1úêë18úûêë3úû所以3é1/2ùé-1/18ù1êúêúA2=31/2[1/2,1/2,0]+31/18[
7、-1/18,1/18,4/18]êúêúê0úê4/18úëûëûé2/3ùêú[]+18-2/32/3,-2/3,1/3êúêë1/3úûé5+424-42-2+22ùêú333êúê4-425+422-22ú=ê333úêú-2+222-228+2êúêë333úû111222定理1.3A是半正定矩阵且AA=A。111证明由(1.2)可见A2是半正定阵；(1.2)两边平方，左边是A2A2，由特征向量的正交性，右边是-1/2-1/2-1/2-1/2-1-1(lee'+...lee')(lee'+...lee')=(
8、lee'+...lee')=A，111kkk111kkk111kkk从而命题得证。一般矩阵是不能比较大小的，但是对于半正定矩阵，在一定条件下，可以比较定义1.4设A,B都是半正定矩阵，且A-B半正定，则称A³B。由半正定定义容易证明，当A³B时，A对角线上元素全大于B对角线上相应元素，例如é33ùé12ùé21ùé33ùé12ùêú-êú=êú
