计算机符号运算在摄动方法中的应用new

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1、Vol12．No412卷4邦J上海工业大学学报JOURNALOFSHANGHAIUNIVERSfTYOFTECHNOLOGYAugu19911991r8l：计算机符号运算在摄动方法中的应用臧宏鸣上海工业尢学．上海市应用数学和力学研究所摘要奉文提出求掇动问膀商阶近似辫的计算机符号运算祛．使过击人力无法进行的麓璃计算得宴现，并在IBM4361计算机上用计算机符号运算求得三次方程及广望KdV古程的高阶搬动解．井生成FORTRAN程序求得数值结果关键词计算机符号运算；摄动法：近似解折解；数值解中固诗赛号029；TP39175一、引言在许多数学物理问题中部涉及到方程的非线性．变系数及复杂的边界条

2、件．对这些l题无法求得其精确的解析解，故发腱出数值解和近似解折解．就数值方法而苦．虽然差分法及有限元法等已被广泛使用．例如大型结构分析软件SAP和ADINA等已解决了不少非线性问题．但对舍冉小参数的方程及不易离散化的：多问题中．用数值方法就会出现许多困难．甚至无法判断数值结果是否正确合理．同时在较复杂的问题和区域待较细的网格划分后其计算量以相当大的规模增长．如需对网格划分进行微小变化时．则需霞新计算单元阵再拼装成总刚．其矩阵运算量十分可观．而最后得到的众多离散数：也不利十计算的分析研究：故对很多问题．人们仍希望得到近似的解析解，两撮动方法是求得近似解析解中最重要也是最理想的渐近方法．怛

3、对使获得较高精度近似解析解时，由于其推导运算过程比较繁琐．用手工推导很难获得高阶摄动解，而用计算机符号运算将避免这一困难，可以求得相当高阶的摄动解，且能保证整个推导过程及结果的准确无误．二、计算机符号运算计算机符号运算是基于计算机科学．人工智能和数学而逐渐发展起来的计算机代数】991年4月】9目敢到．本文联泵^：戚宏鸣．工程师，30岁联系地址：上海工业尢"~189信箱由5政毒寓玛：2．00072上海工业大学学报l2卷系统．在电子计算机问世的初期，即有人设想用计算机进行符号解析运算，但早期的研究与设计方法都建立在数值计算基础上，所以在计算机上实现的速度相当慢而无法进入实用阶段，自出现人工

4、智能语言LISP及c语言后，使其研究进入到崭新的发展阶段，由于计算机技术的迅猛发展使性能价格比，内存规模和运算速度得到大规模的提高．出现了很多功能较强的计算机符号运算系统．诸如Mathematics，Maple，MACSYMA，REDUCE，SCRTCHIPAD及DERIVE等在IBM及DEC等计算机公司的产品上运行的约7O种系统．这些由美国麻省理工学院数学系．IBM公司等大学和公苟参与研制的系统，正在不断地加以改进完善，并出现第二代，第三代系统．相信在不久将会被更广泛地应用．现在的大多数计算机代数系统都具有因式分解，拉普拉斯变换，张量和矢量运算，求解代数方程组，微积分．常微分方程和矩

5、阵代数等功能，同时大多数系统都留有用户可自己定义扩充功能的接口，也可形成数值计算语言FORTRAN或BASIC等格式程序这样，对许多问题用计算机符号运算系统把船折与捌值方法结台起来则显得很方便，不仅可减少大量推导繁琐公式所需的脑力劳动，避免了笔误减少了积累误差，而且使高阶摄动解等过去人力无法进行的复杂运算得以实现．三、三次方程的摄动解对带小参数的三次代数方程3一(6+)0+(1l十2)一6+2=0(1)我们欲求其含有小参数的渐近解，用直接展开法：N令：#i+O幢i1)(2)0如用手工推导求解，则随着Ⅳ的增大其计算量的迅速增长而显得不可行，但用计算机符号运算随着Ⅳ的增大而显示出它的优越性

6、，侧如当N=6时，所花的cpu时间只有50S，N=20时，cpu时间只有3mi13，限于篇幅，这里只写出N=10的情况．当N为10时，将(2)代入r1)，并令“=0，l，2．⋯，10)系数各自为零．得：。一6+11。一6=0(3)3x01—12。x1+111一。2+2。一Of4)3x1x。一61。一21。+21+3X2X。一122+112+1：0(5)l-Xl+6X1X2X0-12xlx2—2X2X。+2X2+33一12x3x口+ll3=0(6)求解(3)一(13)~-I--个。的系数方程．得到含有小参数的三组幂级数小阶摄动解：卜一“三旦““2881281281024。一“327683

7、2768262144(、7●)1024一2+。一2+4一9+236—64+1868—55369+167110(8)4期藏宏鸣：计算机符号运算在摄动方法中的应用2B5s+詈一+13面23899面664937571437489445l。一墼竺!8+1—8122一———(9)3276832768262144下面我们对这三组独立解，分别求得不同时的十阶摄动解和六阶及二阶摄动解的数值结果．假设(1)的左端值为F，即：F一一(6+)+(11+2)x1．，一