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1、应用数学和力学,第19卷第3期(1998年3月)应用数学和力学编委会编AppliedMathematicsandMechanics重庆出版社出版小波分析在测试信号分析中的应用!张湘伟骆少明中桐滋(1996年10月11日收到,1997年10月21日收到修改稿)摘要本文给出了小波的基本原理和构造方法以及小波分析的快速算法,将小波分析方法(WAM)引入到非平稳冲击信号的分析中,作为小波分析应用实例,对汽车齿轮箱的断齿测信号进行了分析,给出了分析结果∀关键词小波分析傅里叶谱分析测试信号中图分类号O354#1
2、引言在工程实际问题中常会碰到一系列的非平稳、冲击信号,例如:汽车在不平整的道路上行驶时的振动信号,飞机在飞行时对突变气流的响应信号,高速运转的零部件破坏时的响应信号及高层建筑在地震时的响应信号等等,对这类冲击信号,传统的基于傅里叶变换的时-频信号分析方法仅能提供信号的平均统计结果,而难以准确地描述其局部的、微细的特征∀小波变换[1]则能够在高频处使用短窗,在低频处使用长窗,可以用不同的尺度观察信号和用不同的分[2][3]辨率分解信号,其有良好的局部化作用,因而小波分析法在测试信号分析中正受到广泛应用∀#2小波变换及其快速算法2如果函数∃L(R
3、)满足如下的%容许条件&:(2
4、^
5、C=∋d<((21)-(
6、
7、或者等价地:(∋()d=0(22)-(2那么称为%基本小波&,对每一个基本小波,L(R)上的连续小波变换定义为:国家教委博士点基金资助项目汕头大学,汕头515063重庆大学,重庆400044!东京大学,日本国东京203204张湘伟骆少明中桐滋1(-t-b2(Wf)(a,b)=
8、a
9、2∋f(t)dt(f算∃法L(R))(23)-(a其中,a,b∃R且a)0∀2函数∃L(R)被称为二进小波,如果存在两个正
10、的常数A,B(0∗A∗B),使得:(-j2A∗+
11、^(2)
12、∗B(a.e)(24)j=-(jj特别地,在(23)式中令a=2,b=2k,则它称为%离散二进小波变换&,若空间序列{Vi}j∃Z是2[2]2-j/2L(R)的多分辨分析,Vjj∃ZL(R),那么信号f(速t)可算在空间Vj的正交基(2j(t-j2-2n)n∃Z)上分解,其中∃L(R)是尺度函数,f∃VJ∀f(t)=AJf(t)=+CJ,kJ,k(t)(25)k∃Z<J,k,J+1,m>hk-2m(26)<J,k,J+1,m>=gk
13、-2m(27)这样,我们有;f(t)=AJf(t)=AJ+1f(t)=AJ+1f(t)+DJ+1f(t)(28)其中(AJ+1f(t)=+CJ+1,mJ+1,m(29)m=-((DJ+1f(t)=+DJ+1,mJ+1,m(210)m=-((CJ+1,m=+hk-2mCJ,k(211)k=-((DJ+1,m=+gk-2mCJ,k(212)k=-(记H=(Hm,k),G=(Gm,k),其中Hm,k=hk-2m,Gm,k=gk-2m,则(211)和(212)式可以写成如下的简化式:Cf+1=H
14、CJ(213)DJ+1=GCJ(214)重复上述过程,我们得到:J1f(t)=AJf(t)++Djf(t)1j=J+1(215)图1小波分解算法示意图其中(Ajf(t)=+Cj,kj,k(216)k=-((Djf(t)=+Dj,kj,k(217)k=-(Cj+1=HCj(218)Dj+1=GCj1小波分析在测试信号分析中的应用205jjAjf是在2分辨率下f的离散逼近,Djf是在2分辨率下f的离散细节∀通常物理仪器记录的分辨率是有限的,因此J的大小是有限的,这样f(t)可分解为:dd
15、f(t)=A-1f+D-1f=A-1f+D-Jf+,+D-1f(219)小波分解算法如图1所示∀#3小波函数的构造在实际应用中,多分辨分析建立在2p+1阶样条函数的基础上,样条函数在应用中具有2良好的性质,设V1是所有在整单位区间[k,k+1)上次数不超过2p+1的连续L(R)函数所2构成的闭子空间,闭子空间Vj可由V1按二进缩得到,则空间序列{Vj}j∃Z构成L(R)多分辨分析,于是我们有:1-n-^()=(!2n())2(n=2p+2)(31)其中函数!n()由下式给出:(-n!n()=+(+2k∀)(32)k=-
16、(f ^()与对应的滤波器H()关系为:^(2)=H()^(
