chapt_8 分离变数(傅里叶级数)法南京大学数学物理方法课件

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1、第八章分离变数§8.1齐次方程的分离变量法驻波法(一)分离变数法介绍常微分方程：求出通解，然后由初始条件或边界条件确定待定常数；偏微分方程：求通解较困难，求得通解定解亦难，因通解中含有任意函数。因此直接求满足定解条件的特解。分离变量法的基本思想：将解偏微的问题化为解常微的问题偏微分方程分离变量常微分方程的定解问题南京大学超导电子学研究所1弦的振动虽然是一个特殊的问题，但它能比较直观地显示出波动问题的一般特征，并形象地说明波动的一些基本概念，如驻波、波节、波腹、本征频率、波的叠加等。该方法亦因此称为驻波法。用分离变数法得到的数学解式特别清楚地反映

2、了波动的这些基本概念。3南京大学超导电子学研究所2两端固定弦的自由振动：泛定方程2初始条件uttauxx0,(0xl)(8.1.1)边界条件u

3、0,u

4、0,(8.1.2)x0xlu

5、(x),u

6、(x),(8.1.3)t0tt0南京大学超导电子学研究所3第一步：泛定方程的分离变量：考虑如下形式的特解：u(x,t)X(x)T(t),(8.1.4)2代入方程（8.1.1）：XT''aX''T02T''X''两边同除aXT2aTX分析：左边：x的函数；右边t的函数，而x和t是独立变量，故只有两边为同一常数(-)。由

7、此得到二个常微分方程：2X''X0,T''aT0南京大学超导电子学研究所4X(0)T(t)0,X(l)T(t)0(t0)第二步：边界条件的分离变量：（8.1.4）代入边值条件:X(0)0,X(l)0因此，只能：问题：能否对初始条件（8.1.3）也进行分离变量呢？（8.1.4）代入（8.1.3）得到X(x)T(0)(x),X(x)T'(0)(x),即X(x)(x)/T(0),X(x)(x)/T'(0)而(x)和(x)是任意函数，一般不满足X(x)的方程5南京大学超导电子学研究所第三步：解问题：X''X

8、0(8.1.8)X(0)X(l)0(1)0:xxX(x)CeCe12由边值CC0,C0121llC1eC2e0,C206南京大学超导电子学研究所(2)0:X(x)CxC12由边值C0,C0,21ClC0,C0,122(3)0:X(x)CcosxCsinx12由边值C01Csinl02南京大学超导电子学研究所7C0无意义2或sinl0要求ln22n,(n1,2,3,)2l最后得到问题的解为：nxX(x)C2sinx,l22n,(

9、n1,2,3,)2l8南京大学超导电子学研究所的取值不是任意的，只能取某些特定的数值，方程(8.1.8)才有满足条件的非零解。这些特定的值称为本征值，(8.1.8)相应的非零解称为本征函数。求本征值和相应的本征函数的问题称为本征值问题。方程及边界条件必须为齐次的，才能分离变数！南京大学超导电子学研究所9第四步：解时间部分：222naT''T0l2通解为：natnatT(t)AcosBsin;ll因此，方程（8.1.1）且满足边界条件（8.1.2）的特解为natnatnxun(x,t)AncosBns

10、insin,(n1,2,3)lll10南京大学超导电子学研究所问题：上述特解能否满足初始条件（2）？nunanxnun

11、t0Ansinx;

12、t0Bnsinltll显然，un(x,t)是不可能满足初始条件的，因为(x)和(x)是任意函数。南京大学超导电子学研究所11第五步：叠加原理：因为方程和边界条件是线性齐次的，故natnatnxu(x,t)AncosBnsinsinn1lll也是方程（8.1.1）且满足（8.1.2）的解。其中系数An,Bn由初始条件（8.1.3）决定：12南京

13、大学超导电子学研究所即：nxu

14、t0Ansin(x)n1lnanxut

15、t0Bnsin(x)n1ll其中l2nA()sindnll0l2nB()sindnnal013南京大学超导电子学研究所解的物理意义可把u(x,t)改写作：u(x,t)Cnsinknxcos(ntn)n1其中：221BnCnAnBn,ntg,Annan,k,nnll南京大学超导电子学研究所141、可见u(x,t)代表驻波。nCnsinknx：弦上各点的振幅分布(ntn)：

16、相位因子n：圆频率n：初位相南京大学超导电子学研究所152、波节：振动中始终不动的点称为：mlsinkx0x,(m0,1,2,n)nn波腹