浅谈最大熵原理和统计物理学

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1、淺談最大熵原理和統計物理學文/曾致遠摘要在本文中我們將分別從物理和資訊論角度簡單討論熵的意義並介紹由E.T.Jaynes所奠立基礎的最大熵原理的原始理解。透過研究理想氣體，我們將闡述如何運用最大熵原理研究真實問題。同時藉由簡短分析統計物理學研究方法的問題，本文會給出最大熵原理更深層涵義及其應用。我們將稱之為最大熵原理第二延伸。最後透過真實氣體的研究，我們將描繪出如何運用第二延伸來幫助我們思考及研究熱力學系統。一、前言新發現，掀開熵的神秘面紗。長時間以來人們對於熵有物理上的理解也有資訊論(Informationtheory)上的理解。物理上的熵二、最大熵原理可以說明熱力學系統的演化方向、熱平

2、衡的達成與l、什麼是最大熵原理否亦或是代表系統的混亂程度等[1-3]。在資訊論相信物理系學生和物理研究人員都很熟悉裡，資訊熵則代表量測資訊系統的可信度或者是忽Clausius的經驗準則-熱力學第二定律[1,2]。該定律略度[3,4]。然而不管物理或是資訊論上對熵的理說明當一個熱力學系統達到最後熱平衡狀態時，該解，實際上仍侷限於將熵視為一個量測的工具。正系統的熵會達到最大值。進一步的研究指出當系統如我們可藉由系統能量的量測來了解系統狀態穩的熵最大時，其自由能將會成為最小。在此一特定與否。然而由於E.T.Jaynes的貢獻，熵可視為一性的影響下人們慣性的傾向於將熵視為類似能量種研究問題的推理工

3、具，這一層意義才為人所知的巨觀物理量。此一物理量成為描述系統亂度的依[5,6]。時至今日，我們雖然仍無法全盤了解熵的真據。此後由於Gibbs引入ensemble觀念，開啟微正意含，但是我們也漸漸掌握熵在物理學尤其是統觀角度的研究方法因而奠立近代統計力學理解熵計物理中所能扮演的角色。通過本文淺顯的介紹，的理論基礎。在統計力學的觀念中，觀察者所量測我們將從過去Jaynes對於熵的認識到今日我們的到該系統熱力學性質之巨觀物理量諸如系統內能或壓力，基本上只能以平圴值來表現。原因在於觀性的量。Shannon也稱之為熵，該量被視為量測察者無法明確掌握系統微觀狀態。此種不確定性可雜訊如何影響系統中有用資

4、訊的程度，我們定義為以藉由機率分佈如canonicalensemble來量化表忽略度(degreeofignorance)或者描述了選取系統示。古典系統熵便可由此機率分佈來定義出不連續資訊的傾向程度，稱之為傾向度(degreeOf表示，likelihood)。通過Cox和Skilling完全不同的論證[5,7]，資訊熵的機率分佈型式類似於熱力學熵。S=−kb∑PilogPi，(1)所不同者在於熱力學熵含有波玆曼常數。這樣的相i似性直到Jaynes在1957年的研究才證明這個相式中k代表波茲曼常數而P為觀察者量測到bi似其實是相等[5]。資訊熵和熱力學熵實際上具有系統處在狀態i時的機率分佈。

5、或者是連續表示，相同的含意。Jaynes更進一步指出且證明最大熵原理(maximumentropyprinciple)並不只是單純的熱S=−kdqP()qlogP(q)，(2)力學第二定律。他的研究指出，最大熵原理不具任b∫NNN何物理意義僅是一個推論的工具。藉由此原理，觀察者所擁有的相關系統資訊可以公正客觀的被編式中q=(r,p)代表空間和動量參數且N入特定機率分佈中來描述觀察者量測到系統微觀P()qdq表示觀察者量測到系統微觀狀態在NN狀態的機會。下一小節中我們將以理想氣體為例具dq範圍之機率份佈。對於量子統計系統，vonN體說明在Jaynes的理解下，如何運用此一原理重Neumann

6、發現也同樣存在著類似形式來描述系統現統計力學的結果並且通過這樣的方式我們將更亂度。他給出熵密度矩陣(densitymatrix)型式，能了解熵及最大熵原理在物理上的含義和功用。ρ(q)，N2、實例一：理想氣體S=−k∫dqρ()qlogρ(q)，(3)bNNN假設一含有N個氣體分子的理想氣體已達熱平衡狀態，觀察者可量測到該氣體之總內能平均值為。不過這些熵的微觀知識，只讓我們了解到熵和用以描述熱力學系統物理量平均值的機率份佈之間存在一個關聯性。除此之外，我們並未獲得更多觀E=∫dqP(q)H(4)NN念上的突破。熵仍只是一個量測工具。在1940年代Shannon等人所發展的Np2i其中H=∑

7、代表系統的漢米頓量communicationtheory[4]也就是後來漸趨成熟且多i=12m元化的Informationtheory中，也同樣存在一相似特(Hamiltonian)，對於理想氣體而言僅有動能而無分子間相互作用能而P(q)代表我們量測到系統N微觀能量狀態等於H時的N個分子機率分接著利用上兩約束方程，我們可分別決定拉格朗日佈。關係式(4)，我們稱之為能量約束方程。它描因子α和β。最後我們可得到最合適描述此理