泛函分析第二章答案

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1、§1k.5f9Ùê1.1k.5f½½½ÂÂÂ1X,Y´Cþ5m§T´XYN.R(T)={Tx

2、∀x∈X}¡T.e∀x,y∈X,∀α,β∈C§kT(αx+βy)=αTx+βTy,K¡T´XY5f.é5Dm(X,k·kX),(Y,k·kY)§e3~êM>0§¦∀x∈X§kkTxkY≤MkxkX,K¡5fT´k..-kTk=inf{M

3、kTxkY≤MkxkX,∀x∈X}¡kTk´Tê.555µµµkTxkY£1¤kTk=sup=supkTxkYx∈X−{θ}kxkXkxkX=1£2¤kTk=supkTxkY.(ex1)

4、kxkX≤1yyy£££1¤¤¤∀x∈X−{θ}§ÄkdkTxkYkTxkY≤sup,kxkXx∈X−{θ}kxkXkTxkYkTxkY≤sup·kxkX,x∈X−{θ}kxkXd½ÂkTxkYkTk≤sup.x∈X−{θ}kxkX§∀x∈X−{θ}§kkTxkYkTxkY≤M⇒≤kTk,kxkXkxkX1kTxkYkTxkYlsup≤kTk.kTk=sup.x∈X−{θ}kxkXx∈X−{θ}kxkXÄk§w,kkTxkYsupkTxkY≤sup=kTk,kxkX=1x∈X−{θ}kxkXÙg§∀x∈X−{θ}§kkTxkYx

5、=kT()kY≤supkTxkY,kxkXkxkXkxkX=1kTxkYÏdkTk=sup≤supkTxkY.kTk=supkTxkY.x∈X−{θ}kxkXkxkX=1kxkX=1½½½ÂÂÂ2X,Y´5Dm§T´XYk.5f.÷µR(T)=Y.üµTx1=Tx2⇒x1=x2,∀x1,x2∈X.eT´ü§K½ÂNT−1:R(T)→X−1Ty=x(eTx=y),¡T−1´T_f.eT−1k.§K¡T´k._§{¡_.½½½ÂÂÂ3ef5mXC5f§K¡f´Xþ5¼.eX´5Dm§f´XCk.5f§K¡f´

6、Xþk.5¼.k.5¼NPX∗§¡X∗Xéóm½
Ým.~~~1T=(tij)m×n´Ý§KXnnTx=tijxj,∀x=(x1,x2,···,xn)∈R,j=1´RnRmk.5f.~~~2X=L1(−∞,+∞)§KZ+∞−iξxTu=eu(x)dx,∀u∈X,−∞´L1(−∞,+∞)L∞(−∞,+∞)k.5f.~~~3X=C([a,b])§KZbf(x)=x(t)dt,∀x∈X,a2Zb2´Xþk.5¼§x(t)→x(t)dtØ´5¼.a½½½nnn1X,Y´5Dm§T:X→Y´5f§Ke^dµ£1¤

7、T3X¥,:ëY¶£2¤T3X¥z:ëY¶£3¤T´k..£AO/§IT3θ:ëY§KíÑÙ§ü^"¤yyy(1)⇒(3)µT3x0ëY§K∃δ>0§kx−x0kX<δ§kTx−Tx0k<1,∀x∈X§kδxδk(+x0)−x0kX=<δ,2kxkX2u´δδxδxkTxkY=kT()kY=kT(+x0)−Tx0kY<1,2kxkX2kxkX2kxkX=2kTxkY0§¦kTxkY≤MkxkX,∀x∈X.u´§∀x,y∈X§ky−x∈X§lkTy−TxkY=kT(y−x

8、)kY≤Mky−xkX,¤±T3x:ëY.(2)⇒(1)w,¤á.~~~4X,Y´5Dm§eX´k§KXY?¿5fÑ´ëY.yyyX´n§{e1,···,en}´X

9、ħK∀x∈X,∃αi∈K,i=1,···,n§¦Xnx=αiei§u´i=1XnXnTx=T(αiei)=αiTei,i=1i=13lXnXnXnXn2121kTxkY=kαiTeikY≤

10、αi

11、kTeikY≤(kTeikY)2(

12、αi

13、)2,i=1i=1i=1i=1dXþêd§3~êC>0§¦Xn21(

14、αi

15、)2≤CkxkX,i=1¤±Xn2

16、1kTxkY≤(kTeikY)2CkxkX,i=1T´k.§l´ëY.1.2fmX,Y´5Dm§òXYk.5fNPL(X,Y)§e3L(X,Y)¥5½5$µ∀T1,T2∈L(X,Y),∀α∈K,(T1+T2)x=T1x+T2x,(αT)x=α(Tx),KL(X,Y)Uþã5$¤5m.555µµµ3ØÚå·¹e§±òX,Y¥êÑPk·k.···KKK1L(X,Y)Ufê¤5Dm.yyy∀T,S∈L(X,Y),∀α∈K§kkTxk(i)kTk=sup≥0,kTk=0⇔Tx=0,∀x∈X⇔T=0;x6=θkxk(i

17、i)kT+Sk=supkTx+Sxk≤supkTxk+supkSxk=kTk+kSk;kxk=1kxk=1kxk=1(iii)kαTk=supkαTxk=

18、α

19、supkTxk=

20、α

21、kTk.kxk=1kxk=1½½½nn