大学物理 薛定谔方程new

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1、作者余虹2011-12-14大连理工大学余虹1第19章实验基础与基本原理第20章薛定鄂方程第21章量子物理的应用2011-12-14大连理工大学余虹220.1定态薛定谔方程20.2双态系统*20.3一维定态问题20.4原子中的电子ErwinSchrödinger2011-12-14大连理工大学余虹320.1定态薛定谔方程一、波函数1.什么是波函数?经典理论：沿x方向传播的单色平面波xξν(,)xt=−Acos2π()t量子理论：沿x方向运λ动的自由粒子的德布罗x−−it2π()ν(,)xtAeλ意波是单色平面波ξ=2π−ixhi−−it2π()ν−−()E

2、tpx(,)xtCeλCeZΨ==ii一维波函数Px−Et=CeZeZiPx()xCeZψ=一维定态波函数2011-12-14大连理工大学余虹4ddd*2可测量P()rrrr=⋅=ψψ()()ψ()d在r附近可观测到粒子的概率密度.d2d(Prx=ψ)ddydzd在r附近，dV=dxdydz区域内发现粒子的概率.2Pxyz(,,,)=∫∫∫ψdddxyz在V空间发现粒子的概率.V意义？可能性哪些中子衰变???616s中有50%的中子衰变.一个中子在616s中衰变的概率是N个中子中子半衰期616s50%.不能做绝对确定性的断言.2011-12-14大连理工大

3、学余虹52.波函数的条件(1)ψ（r）必须是时空的单值函数——确定的时间、地点，粒子出现的概率是确定的。标准条件(2)ψ（r）必须是有限的——因为概率W（x，y，z）≤1.(3)两个区域的边界处波函数ψ=ψ12、∇ψ=∇ψ——连续。——粒子出现12在边界处确定点的概率是定值。(4)粒子在全空间出现的概率=1+∞2归一化条件∫∫∫ψddd1xyz=−∞2011-12-14大连理工大学余虹63.态叠加原理本征函数——本征态如果ψ1、ψ2、ψ3······ψn是粒子或系统的波函数，则ψ=Cψ+Cψ+Cψ+······Cψ也是粒子112233nn或系统的波函数。叠

4、加态对粒子进行某力学量（例如能量）测量Hˆψ=ϕ=Eψ相应的本征值ii重复测量，E以一定的概率出现。i若有N个本征态对应一个本征值，则称该本征态N度简并。HEˆψ=ψ1HEˆ2度简并ψ=ψ2HEˆψ=′ψ32011-12-14大连理工大学余虹7二、薛定谔方程i−(Et−Px)1.一维自由粒的波函数(x,t)=CeZΨ一维自由粒子的薛定谔方程22Z∂Ψ∂Ψ−=iZ22m∂x∂t2.一维势场U（x，t）中运动粒子的薛定谔方程22Z∂Ψ∂Ψ−+UΨ=iZ22m∂x∂t3.一维势场U（x，t）中运动粒子的定态薛定谔方程222dψZ2dmΨ−++(EUE−ΨU=)ψ

5、Ψ=0222dx2dmxZ2011-12-14大连理工大学余虹8量子力学处理问题的方法1.分析、找到粒子在势场中的势能函数U，写出薛定谔方程。2.求解ψ，并根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数。3.由

6、2ψ

7、得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。2011-12-14大连理工大学余虹920.3一维定态问题一、一维无限深势阱势能U=0（0

8、，写出定态定谔方程2dψ2mE+ψ=0(0

9、维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度2Enpnn=ψEnψn23πn=3pE3=9E1ψ3=sinx3aap222πn=2E=4Eψ=sinx212aap221πZ2πn=1E=ψ=sinx1212maaa0ax0ax2011-12-14大连理工大学余虹12例题anπ0~a一维无限深势阱中粒子的本征函数为ψ()xx=sinn2a求:（1）发现处于第一激发态粒子概率最大的位置；（2）在a/4

10、aa2π2π424sinxxcos=0aa2dpa3axx=0或=