小波变换在图像压缩中应用new

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1、万方数据科技信息·O高校讲台。绷CE＆TECI悄0LOGY玳FO蹦AⅡ0N2007年第24期小波变换在图像压缩中的应用李娟(山东教育学院物理科学与技术系山东济南250013)摘要：小渡变换在数字化图象的压缩中起着极其重要的作用。本文在简单阐述小波变换基本理论和Mallat算法基本思想的基础上．着重利用Matlab软件研究了小波变换在图像压缩技术中的具体应用，结合实例给出了具体程序，并对程序进行了详细说明。关键词：图像压缩；小渡变换；多分辨分析；Mallat算法1．引言随着多媒体应用的普及和数字视频技术的发展．以及网络上图像传输的增多，对图像的处理变得越来越重要。图像的

2、数字化是必然的趋势，但是经过数字化的图像所占的数据量相当庞大，而信道带宽和，存储空间的限制又给实际应用带来了很大的困难，所以图像压缩已成为现代信息社会急待解决的问题。小波变换的理论是20世纪80年代后期兴起的新的数学分支．素有“数学显微镜”的美称。它是继1822年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的研究成果，解决了很多傅立叶变换不能解决的难题。小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性，具有极强的自适应性。因此在图像处理中具有极好应用价值。2．小波变换基础，2．1小波(w

3、a"let)，即小区域的波。小波函数的确切定义为：设霉(t)为一平方可积函数，也即皿(I)∈L2(R)，若其傅里叶变换叩(∞)满足条件：f』!剑一d∞<*JH∞则称9(t)为一个基本小波或小波母函数，并称上式为小波函数的可容许性条件。2．2连续小波的定义：将小波母函数皿m伸缩因子为a．平移因子为f，令其平移伸缩后的函数为皿盯(t)，则有：一睾．一划t)=a‘瞰!=!-)，a>0，T∈Ra则称，p。(t)为连续小波基函数。小波函数多以开发者的名字命名。常用的如图1：H铺∥卜渡函数．．_。●tIorlet小渡函数do●1鼍e”r小液函数神卜波函数圈1常用的小渡函数≤田’，

4、毒’●§O-o●呻Io●格coif2小渡函败2．3连续小波变换：将任意吹R)空间中的函数f(t)在小波基下进行展开，称这种展开为函数f(￡)的连续小波变换(ContinueWayeletTran8fom。简记为CV汀)，其表达式为：州a，帕=姐t)，叱(t)>=i净J。f(t)咿(孚)dt2．4多分辨分析：空间L2(R)的多分辨分析是指构造该空问内一个子空间列{V；}Ⅲ，使其具有以下性质：(1)单调性(包容性)：⋯cV2cVIcVocV_lcV-2c⋯r-、．o(2)逼近性：clo∞{Uv，}-L‘(R)，nVf=(o)(3)伸自自性：巾(t)EVfc=}巾(2t)E

5、V卜l(4)平移不变性：牵(t)EVf§弗(卜2卜1k)EVj，Vk∈z(5)斑esz基存在性：存在巾(t)∈Vo，使得{巾(21t—k))k。。构成Vi的mesz基。．在定义中，Vi对应于2_分辨率，在有些文献中，V；对应于2j分辨率，这时，性质(1)和(3)中子空问的下标要做相应的变化。3．Ma¨at算法Mall8t使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mall8t快速小波分解和重构算法．它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当。Mallat算法是将酿R)上的多分辨分析记为{{VjjEzJ；巾(x)}，尺

6、度方程和小渡方程为巾(x)=、／丁∑h。巾(2x—n)和皿(x)=、／虿∑gI_巾(2x-n)EZnEZ其中，系数关系是瓯=(一1)“i．，k∈z，对任意的整数j和k，沿用】l记号札(x)=2争巾(2j—n)，扎(x)=2丁屯(2j—k)Vj={焉忑再ii云)，Wj={可乃丽歪虿)，L2(R)键Wj={瓦万瓦)对于任意信号f(x)∈L2(R)引入记号q=J。f(x)而(x)dx，电=J。f(x)尘，^(x)d】【称为f(x)的尺度系数和小波系数，同时，将f(x)在闭子空间vj和Wj上的正交投影记为￡(x)和＆(x)，这样‘(x)=．互q电^(x)埚(x)=．二屯q么(

7、x)根据空间正交值和分解关系V泸V。oWj，可得‘+一(x)=‘(x)+昏(x)，因此，信号的尺度变换系数和小波变换系数之间的关系现在可以写成乙cⅢ屯。^(x)=三c仙札(x)+二dj^q么(x)kEZkEZkEZ小波变换用于图像编码的基本思想就是把二维图像f(xJ)进行分解后，得到不同分辨率、不同频率的子图像。然后再对子图像做不同策略的量化和编码处理o4．运用MatIab小波工具箱进行图像分解并压缩根据Mallat算法将函数f(x，y)分解成不同通道成分，每次小波分解将图像分解成四块子图，其中一块对应的称为平滑图像，另三块对应的称为细节图像，也就是