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1、桂林电子科技大学研究生《现代数字信号处理》教案§2.4因果IIR维纳滤波器的设计与计算2.4.1两种随机信号模型1.x(n)的信号模型2由白噪声ε()n(方差σε)激励线性时不变系统Bz(),输出x()n,如图2.4.1所示.该模型表示为nx()nb=∑εnni−，n=0,1,2,?(2.4.1)i=0其中,b(n)为线性时不变系统的冲激响应序列.ε(n)x(n)B(z)图2.4.1x(n)的信号模型2.s(n)的信号模型与测量模型2由方差为σw的白噪声wn()激励线性时不变系统A()z,产生输出s()n,如图2.4.2所示.s()n的模型方程为s()na=−sn(1)+w()n(2.4.
2、2)cv(n)w(n)s(n)x(n)A(z)⊗⊕s(n)信号模型s(n)测量模型图2.4.2s(n)的信号模型与测量模型上式含义可理解为:n时刻的信号s()n,可利用前一时刻的数据sn(1−)预测得到,如图2.4.3所示,这表明s()n是由wn()激励一个一阶自回归过程而形成.w(n)s(n)⊕-1zas(n−1)图2.4.3s(n)的信号模型表示为一阶自回归过程[附注]韩传久编第8-1页桂林电子科技大学研究生《现代数字信号处理》教案对式(2.4.2)取z变换,得−1SzazSzWz()=+()()则线性时不变系统的传输函数为Sz()1Az()==(2.4.3)−1Wz()1−az若s(
3、)n在传输或测量中引入衰减和加性噪声vn(),得x()nc=+snvn()()(2.4.4)上式称为s()n的测量模型.式中,a和c是模值小于1的常数.下面根据以上信号模型和测量模型设计一个因果IIR维纳滤波器,其输入数据为x()n,输出最佳估计sˆ()n.2.4.2因果IIR维纳滤波器的设计1.功率谱计算(1)s()n的自功率谱假设白噪声wn()的方差为Q,即功率谱为PzQww()=(2.4.5)其自相关函数为Ewnwi[()()]=Qδni(2.4.6)其中⎧1,ni=δni=⎨⎩0,ni≠根据谱分解定理,s()n的自功率谱为−1PzQAzAzss()=()()将式(2.4.3)代入上
4、式,得QPz()=(2.4.7)ss−1(1−−az)(1az)(2)s()n与x()n的互功率谱假设vn()与s()n,wn()均不相关,即有Evnsi[()()]0=,∀ni,Evnwi[()()]0=,∀ni,[附注]韩传久编第8-2页桂林电子科技大学研究生《现代数字信号处理》教案在上述条件下,s()n与x()n的互功率谱为cQRmEsnxnm()=+[()()]Pz()=(2.4.8)sxsx−1(1−−az)(1az)=+Esncsnmvnm[()(()+(+)]=cRm()ss(3)x()n的自功率谱↓假设白噪声vn()的方差为R,即自功率谱为Psx()zc=Pzss()PzR
5、vv()=(2.4.9)其自相关函数为Evnvi[()()]=Rδni(2.4.10)在vn()与s()n不相关情况下,x()n的自功率谱为222−1cQcQ++(1aRaRz)−−aRzPz()=+R=2R()mcRmRm=+()()xx−−11xxssvv(1−−az)(1az)(1−−az)(1az)↓2(2.4.11)PzcPzPzxx()=+ss()vv()另一方面,对Szxx()进行谱分解,同时考虑式(2.4.11),得−121−211−fzf−zPzxx()==σσεεBzBz()()−1⋅(2.4.12)1−az1−az式中,系数f<1.2.待求因果IIR维纳滤波器的传输函
6、数2由式(2.4.11)和式(2.4.12),可求得系数f与参数σε分别为Raf=(2.4.13)2RcP+及22σε=+RcP(2.4.14)式中,P是下列代数方程(Ricatti方程)的正解:2PRaQP=−(2.4.15)2RcP+因果IIR维纳滤波器的传输函数为GHz()=(2.4.16)c−11−fz其中,维纳增益G:cQcPG==(2.4.17)22σε(1−+faRc)P[附注]韩传久编第8-3页桂林电子科技大学研究生《现代数字信号处理》教案G与f的关系为:Raf==ac(1−G)(2.4.18)2RcP+§2.5卡尔曼(Kalman)滤波器2.5.1引言1.标量卡尔曼滤波根
7、据前一个信号估计值和最近一个观察数据,估计信号的当前值.估计方法:采用递推算法求解状态方程,直接给出估计值.2.矢量卡尔曼滤波标量卡尔曼滤波器的推广,即根据观测数据,同时估计若干个信号(如q个信号),或估计一个高阶自回归过程,如q阶自回归过程:qs()na=−∑is(ni)+w()ni=13.符号说明为使卡尔曼滤波的物理意义明确,采用下列符号:zsˆ(
8、)nn——代替sˆ()n,表示用n时刻及其以前所有数据,即{();x
