弹性力学-03-2

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1、第三章平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。主要内容§3-1多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-1多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)，能解决什么样的力学问题。——逆解法1.一次多项式（1）(x,y)axbyc其中：a、b、c为待定系数。4444（2）检验φ(x,y)是否满足双调和方程：204224xxyy显然

2、φ(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。（3）对应的应力分量：22x2Xx0XxXxy2Yy0YyYyyx2xy0若体力：X=Y=0，则有：xyxy0xy（1）一次多项式对应于无体力和无应力状态；结论1：（2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.二次多项式22（1）axbxycy其中：a、b、c为待定系数。（2）检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有4440,0,

3、04(可作为应力函数)44220xyxy（3）由式（2-26）计算应力分量：(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)2222c2axybx2y2xyyx2a结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。2c2cx0x0y2b2xyy2ay例：试求图示板的应力函数。00xx002yy(x,y)y(x,y)xy203.三次多项式3223（1）axbxycxydy其中:a、b、c、d为待定系数。（2）检验φ(

4、x,y)是否满足双调和方程，显然有4440,0,0444220(可作为应力函数)xyxy（3）由式（2-26）计算应力分量：(假定：X=Y=0)2222cx6dy2by6ax2bx2cyx2y2xyyxxy结论3：三次多项式对应于线性应力分布。3讨论：取dy,(XY0)可算得：ll6dy00hxyxy图示梁对应的边界条件：Mmin3dh2Mhy:y0,xy0x23dhhmaxy

5、xl:x6dy,xy0123可见：dy——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数d与弯矩M的关系：hh由梁端部的边界条件：(1)226dydy0hxdy0h22hh(2)2ydyM26dy2dyMd3(或d2M)hxhhM32h2212MMMx3yx3yxyh(h/12)I可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明：llh(1)组成梁端力偶M的面力须线性M3dh2分布，且中心处为零，结果才min

6、M是精确的。x(2)若按其它形式分布，如：3dhh则此结果不精确，有误差；1maxy2但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。6dy00xyxy(3)当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。My4.四次多项式xI432234（1）axbxycxydxyey（2）检验φ(x,y)是否满足双调和方程444424a28c24e代入：04224xxyy得24a8c24e03ac3e0可见，对于函数：432234

7、axbxycxydxyey其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：3ac3e0（3）应力分量：222x22cx6dxy12eyy2——应力分量为x、y22y22cy6bxy12ax的二次函数。x2223bx4cxy3dyxyxy（4）特例：44axey（须满足：a+e=0）212axy212eyx0xy总结：（多项式应力函数的性质）4（1）多项式次数n<4时，则系数可以任意选取，总可满足0。4多项式次数

8、n≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足0。多项式次数n越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。（3）二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（4）用多项式构造应力函数φ(x,y)的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。问题：按应力求解平面问题，其基本未知量为：,,，本节说明xyxy如何由,,求出形变分量、位移分量