《概率论》期中测试题参考解答

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1、《概率论》期中测试题参考解答1、（10分）设表示三个随机事件，试用事件的运算分别表示下列各事件：(1)不发生而都发生；表示为：(2)三个事件至少有一个发生；表示为：；或表示为：(3)三个事件至多有一个发生；表示为：(4)恰有两个不发生；表示为：；(5)都不发生；表示为：(6)三个事件不少于两个发生；表示为：；或表示为：(7)同时发生；表示为：(8)三个事件不多于两个发生；表示为：；或表示为：或表示为：(9)不全发生；表示为：；第9页共9页或表示为：或表示为：(10)恰有一个发生.或表示为：2、（14分）已知求：(1)；(2)；

2、(3)；(4)；(5)；(6)；(7).解：（1）因为，所以有；（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）3、（8分）一个盒子中有个球，其中个黑球个红球，求下列事件的概率：(1)=“从盒子中任取一球，这个球是黑球”；(2)=“从盒子中任取两球，刚好一黑一红”；(3)=“从盒子中任取两球，都是红球”；(4)=“第9页共9页从盒子中任取五球，恰好有两个黑球”.解：（1）；（2）；（3）；（4）4、（3分）设甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为，求目标被命中的概率.解：设=“甲命中目标”；=“乙命中目标”；=

3、“丙命中目标”；=“目标被击中”。则，且独立。故有，5、（6分）设某批产品中,甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%和20%，各厂的产品的合格品率分别为96%、98%、95%.现从中任取一件，(1)求恰好取到不合格品的概率；(2)取到的不合格品是由甲厂生产的概率.解：设=“任取一件产品，恰为不合格品”；=“任取一件产品，恰为第条流水线生产”，=甲，乙，丙。，，，，，。（1）由全概率公式有：（2）由贝叶斯公式有：第9页共9页6、（8分）在电源电压不超过200伏,在200~240伏和超过240伏三种情形下,某种电子元件损坏的

4、概率分别为0.1,0.001和0.2.假设电源电压~,试求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)在该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率.(注：)解：设=“该电子元件损坏”；=“电源电压不超过200伏”，=“电源电压在200~240伏”，=“电源电压超过240伏”。已知，，，，，（1）由全概率公式有：（2）由贝叶斯公式有：7、（6分）设在一次试验中，事件发生的概率为，现进行次独立试验，试求:(1)恰好发生两次的概率；(2)至少发生两次的概率；(3)至多发生两次的概率.解：设表示次独立试验中事件发生的次数，易知。（1）

5、；（2）；第9页共9页或；（3）；8、（6分）从3~7五个整数中任取三个不同的数，设为，记，求：(1)的分布列；(2)的分布函数；(3).解：（1）随机变量的可能取值为：3,4,5且有；；。所以的分布列为：3456/103/101/10（2）分布函数；（3）；9、（6分）设随机变量的分布函数为，求：（1）的分布列；（2）；（3）.解：（1）的可能取值为分布函数的间断点：-2,1,3,7；；；；；第9页共9页所以的分布列为：-21370.30.20.20.3（2）；（3）；。10、（3分）随机变量服从泊松分布，且，求.解：因为服

6、从泊松分布，即，故的分布列为：，因为，所以有，得，所以11、（14分）设随机变量的密度函数为，(1)确定常数；(2)求随机变量的分布函数；(3)求；（4）求；（5）求.解：（1）由，；故（2）的分布函数，（i）当时，；第9页共9页（ii）当时，；（iii）当时，；（iv）当时，；故（3）；或。（4）；（5）；。12、（3分）设随机变量的分布列如下，试求的分布列.第9页共9页解：因为：20026所以的分布列为：0260.30.60.113、（8分）设随机变量的密度函数为，求：（1）随机变量的密度函数；（2）求；（3）求.解：（1

7、）分布函数法：记的分布函数与密度函数分别为：，；则有：（i）当，即时；（ii）当，即时；（iii）当，即时；第9页共9页故，公式法：因为在上严格递增；其反函数为，且，故有：（2）；；（3）；；。14、（5分）设为非负连续型随机变量且数学期望存在，证明：，.证明：记的密度函数为，则有第9页共9页