概率论第二章习题参考解答1

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1、概率论第二章习题参考解答1.用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果.写出它的概率函数和分布函数.解:假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上.则P(ξ=0)=P(ξ=1)=0.5.其分布函数为2.如果ξ服从0-1分布,又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍,写出ξ的分布律和分布函数.解:根据题意有P(ξ=1)=2P(ξ=0)(1)并由概率分布的性质知P(ξ=0)+P(ξ=1)=1(2)将(1)代入(2)得3P(ξ=0)=1,即P(ξ=0)=1/3再由(1)式得P(ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ01P1/32/3而分

2、布函数为3.如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1,则称ξ服从退化分布.写出它的分布函数F(x),画出F(x)的图形.解:,它的图形为4.一批产品分一,二,三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机地抽取一个检验质量,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的概率函数.解设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级,则根据题意有P(ξ=1)=2P(ξ=2)(1)P(ξ=3)=P(ξ=2)/2(2)由概率论性质可知P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1(3)(1),(2)代入(3)得:2P(ξ=2)+P

3、(ξ=2)+P(ξ=2)/2=1解得P(ξ=2)=2/7,再代回到(1)和(2)得P(ξ=1)=4/7,P(ξ=3)=1/7则概率函数为或列表如下:ξ123P4/72/71/75.一批产品20个,其中有5个次品,从这批产品中随意抽取4个,求这4个中的次品数ξ的分布律.解:基本事件总数为,有利于事件{ξ=i}(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为,则ξ01234P0.28170.46960.21670.0310.0016.一批产品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品为止,假定每件产品被取到的机会相同,求

4、抽取次数ξ的概率函数.解:每次抽到正品的概率相同,均为p=10/13=0.7692,则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308则ξ服从相应的几何分布,即有7.上题中如果每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取得正品为止,求抽取次数ξ的分布律.解:这样抽取次数就是有限的,因为总共只有3件次品,即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品,因此必然抽到正品,这样ξ的取值为1,2,3,4.不难算出,ξ的分布律如下表所示:ξ1234P0.76920.19530.03280.00278.自动生产线在调整之后出现废品的概

5、率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解:事件ξ=i说明生产了i次正品后第i+1次出现废品,这是i+1个独立事件的交(1次发生i次不发生,因此有P(ξ=i)=p(1-p)i,(i=0,1,2,…)9.已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为,确定常数c并计算P{ξ<1

6、ξ≠0}.解:根据概率函数的性质有即得设事件A为ξ<1,B为ξ≠0,(注:如果熟练也可以不这样设)则10.写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数.解:第4题:第9题:当x<-1时:F(x)

7、=P(ξ≤x)=0当-1≤x<0时:F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)=当0≤x<1时:F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)=当1≤x<2时:F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)+P(ξ=1)=当x≥2时:F(x)=P(ξ≤x)=1综上所述,最后得:11.已知ξ~,求ξ的分布函数F(x),画出F(x)的图形.解:当x<0时:F(x)=0;当0≤x<1时:当x≥1时:F(x)=1综上所述,最后得图形为12.已知ξ~,求P{ξ≤0.5};P(ξ=0.5);F(x).解:,因ξ为连续型随机变量,因此

8、取任何点的概率均为零,所以P{ξ=0.5}=0,求F(x):当x<0时,F(x)=0当0≤x<1时,当x≥1时,F(x)=1综上所述,最后得:13.某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度,某一个电子设备内配有3个这样的电子管,求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解:先求一个电子管使用150小时以上的概率P(ξ≥150)为:则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型,试验三次发生三次的概率为14.设连续型随机变量ξ的分布函数为:求系数A;P(0.3<ξ<0.7);概率密度φ(x).解:因ξ是连续型随机变量,因此

9、F(x)也必是连续曲线,则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上,则必有A×12=1,即A=1.则分布函数为P(0.3<ξ<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度φ(x)为15.服从