概率论习题参考解答.doc

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1、概率论第二章习题参考解答.用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果.写出它的概率函数和分布函数.解:假设ξ对应于"正面朝上",ξ对应于反面朝上.则(ξ)(ξ).其分布函数为.如果ξ服从分布,又知ξ取的概率为它取的概率的两倍,写出ξ的分布律和分布函数.解:根据题意有(ξ)(ξ)()并由概率分布的性质知(ξ)(ξ)()将()代入()得(ξ),即(ξ)再由()式得(ξ)因此分布律由下表所示ξ而分布函数为.如果ξ的概率函数为{ξ},则称ξ服从退化分布.写出它的分布函数(),画出()的图形.解:,它的图形为.一批产品分一,二,三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机地抽取

2、一个检验质量,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的概率函数.解设ξ取值代表取到的产品为一,二,三级,则根据题意有(ξ)(ξ)()(ξ)(ξ)()由概率论性质可知(ξ)(ξ)(ξ)()(),()代入()得:(ξ)(ξ)(ξ)解得(ξ),再代回到()和()得(ξ),(ξ)则概率函数为或列表如下:ξ.一批产品个,其中有个次品,从这批产品中随意抽取个,求这个中的次品数ξ的分布律.解:基本事件总数为,有利于事件{ξ}()的基本事件数为,则ξ.一批产品包括件正品,件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品为止,假定每件产品被取到的机会相同,求抽取次数ξ的概率函数.解:每次抽到正品的概率相同,均为

3、,则每次抽到次品的概率则ξ服从相应的几何分布,即有.上题中如果每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取得正品为止,求抽取次数ξ的分布律.解:这样抽取次数就是有限的,因为总共只有件次品,即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品,因此必然抽到正品,这样ξ的取值为.不难算出,ξ的分布律如下表所示:ξ.自动生产线在调整之后出现废品的概率为,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解:事件ξ说明生产了次正品后第次出现废品,这是个独立事件的交(次发生次不发生,因此有(ξ)(),(,…).已知随机变量ξ只能取四个值,相应概率依次为,确

4、定常数并计算{ξ<ξ≠}.解:根据概率函数的性质有即得设事件为ξ<,为ξ≠,(注:如果熟练也可以不这样设)则.写出第题及第题中各随机变量的分布函数.解:第题:第题:当<时:()(ξ≤)当≤<时:()(ξ≤)(ξ)当≤<时:()(ξ≤)(ξ)(ξ)当≤<时:()(ξ≤)(ξ)(ξ)(ξ)当≥时:()(ξ≤)综上所述,最后得:.已知ξ,求ξ的分布函数(),画出()的图形.解:当<时:();当≤<时:当≥时:()综上所述,最后得图形为.已知ξ,求{ξ≤};(ξ)().解:,因ξ为连续型随机变量,因此取任何点的概率均为零,所以{ξ},求():当<时,()当≤<时,当≥时,()综上所述,最后得:.

5、某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度,某一个电子设备内配有个这样的电子管,求电子管使用小时都不需要更换的概率.解:先求一个电子管使用小时以上的概率(ξ≥)为:则个这样的电子管构成贝努里独立试验概型,试验三次发生三次的概率为.设连续型随机变量ξ的分布函数为:求系数;(<ξ<);概率密度φ().解:因ξ是连续型随机变量,因此()也必是连续曲线,则其在第二段()区间的曲线必能和第三段(∞)的曲线接上,则必有×,即.则分布函数为(<ξ<)()()概率密度φ()为.服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是(),求常数{ξ<}以及概率密度φ().解:由(∞),得(∞)()再由(∞),得

6、()综和(),()两式解得即.服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度,求系数及分布函数().解:这实际上是一个分段函数,φ()可重新写为根据性质,又因φ()为偶函数,因此有,则有因此.求分布函数().当<时,有当≥时,有综上所述,最后得.已知,计算{ξ≤<ξ≤}解:设事件{ξ≤},{<ξ≤},则要计算的是条件概率(),而,而事件{ξ≤}∩{<ξ≤}{<ξ≤}因此有最后得.已知,确定常数.解:首先证明普阿松广义积分,因为函数并不存在原函数,因此需要一技巧.令,则作极坐标代换,令,则积分区间为全平面,即θ从积到π,从积到∞,且,因此有,所以π.现确定常数,由性质,得.已知,求常数及{<ξ≤}

7、.解:由性质得解得,因此有则.二元离散型随机变量(ξ,η)有如下表所示的联合概率分布:ηξ求边缘概率分布,ξ与η是否独立?解:按下表计算ξ与η的边缘分布:ηξ()()得ξ的边缘分布如下表所示:ξ以及η的边缘分布如下表所示:η当及时,因因此ξ与η相互间不独立..假设电子显示牌上有个灯泡在第一排,个灯泡在第二排.令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数.若ξ与η的联合分布如下表所示:ηξ试计算在规定时间内下列事件的概率