江苏专用2019高考数学（理科）二轮复习解答题专项练3：应用题（含答案）

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1、3.应用题1.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图).设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数).彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l.(1)请将l表示成关于α的函数l＝f(α)；(2)问：当α为何值时l最小，并求最小值.解　(1)过D作DH⊥BC于点H，则∠DCB＝α，DH＝h，设AD＝x.则DC＝，CH＝，BC＝x＋.因为S＝·h，则x＝－，则l＝f(α)＝2DC＋AD＝＋h.(2)f′(α)＝h·＝h·，令f′(α)

2、＝h·＝0，得α＝.当α变化时，f′(α)，f(α)的变化情况如下表：αf′(α)－0＋f(α)↘极小值↗所以lmin＝f ＝h＋.答　当α＝时，l取最小值h＋(m).2.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.(1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值.解　(1)设一根木条长为xm，则正方形的边长为2＝m.

3、因为S四边形ABCD＞，所以4－x2＞，即x＜.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x＞，所以4＜4x＜2.答　四根木条总长的取值范围为(4，2).(2)方法一　设AB所在的木条长为am，则BC所在的木条长为(3－a)m.因为a∈(0,2)，3－a∈(0,2)，所以a∈(1,2).窗口ABCD的面积S＝4·＝·＝，设f(a)＝a4－6a3＋a2＋24a－20，则f′(a)＝4a3－18a2＋2a＋24＝2(a＋1)(2a－3)(a－4)，令f′(a)＝0，得a＝或a＝－1(舍去)或a＝4(舍去).当a变化时，f′(a)，f(a)的变化情况如下表：af′(a)

4、＋0－f(a)↗极大值↘所以当a＝时，f(a)max＝f ＝，即Smax＝.答　窗口ABCD面积的最大值为m2.方法二　设AB所在的木条长为am，BC所在的木条长为bm.由条件知，2a＋2b＝6，即a＋b＝3.因为a，b∈(0,2)，所以b＝3－a∈(0,2)，从而a，b∈(1,2).由于AB＝2，BC＝2，S矩形ABCD＝4＝，因为≤≤＝，当且仅当a＝b＝∈(1,2)时，S矩形ABCD＝为最大值.答　窗口ABCD面积的最大值为m2.3.(2018·江苏省启东中学模拟)为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采

5、，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图.点C是半径OB上一点(异于O，B两点)，点D是圆弧AB上一点，且CD∥OA.为了实现“以展养展”，现在决定：在线段OC、线段CD及圆弧DB三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD及圆弧DB处每百米均为a元.设∠AOD＝x弧度，广告位出租的总收入为y元.(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值.解　(1)因为CD∥OA，所以∠ODC＝∠AOD＝x弧度，

6、在△OCD中，∠OCD＝，∠COD＝－x，OD＝2百米，由正弦定理得＝＝＝，得OC＝sinx百米，CD＝sin百米.又圆弧DB长为2百米.所以y＝2a×sinx＋a×＝2a×，x∈.(2)记f(x)＝2a×，则f′(x)＝2a×(cosx－sinx－1)＝2a×，x∈.令f′(x)＝0，得x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：xf′(x)＋0－f(x)↗极大值↘所以f(x)在x＝处取得极大值，这个极大值就是最大值，即f ＝2a.所以当x＝时广告位出租的总收入最大，最大值为2a元.4.(2018·连云港质检)如图(1)是一直角墙角，∠AOB＝

7、90°，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直.ABCD是一块长AB为6米，宽BC为2米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物.(1)若按如图(1)放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？(2)由于墙面使用受限，OA面只能使用2米，OB面只能使用4米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间，如图(2)，如何折叠板材才能使这个空间最大？解　(1)设OA＝x，OB＝y，x，y∈(0,6)，且x2＋y2＝36，因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大.∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝xy≤＝9，当且仅当x＝y＝3时取到等号.即板材放置时，使得板

8、材与墙面OA成45°角.(2)因为直四棱柱的高为定值