第8章向量代数与空间解析几何

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1、第7章常微分方程教学重点：1.理解常微分方程的基本概念；2.理解微分方程的解的概念，包括解、通解、初始条件和特解；3.熟练掌握几类一阶微分方程的解法；4.熟练掌握高阶微分方程的降阶法；5.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理；6.熟练掌握二阶常系数线性微分方程的解法7.能利用微分方程解决实际应用问题。教学难点：1.能正确判断判断微分方程的类型；2.用换元法求解微分方程；3.微分方程的应用。说明：欧拉方程不作要求。§7.1微分方程的基本概念我们先看两个实际问题.例7.1已知一曲线通过点,且在该曲线上任一点处的切线斜率为,求该曲线方程.解设所求曲线的方程为

2、,根据导数的几何意义,可知未知函数应满足关系（7—1）将上式的两端积分,得即（7—2）其中是任意常数.此外,未知函数还满足当时,（7—3）将（7—3）代入（7—2）得,即所求曲线方程为（7—4）例7.2（自由落体运动）一质量为的质点,在重力作用下,从高处由静止开始下落,求质点在时刻的位移.解根据牛顿第二定律,未知函数应满足关系式34即（7—5）同时,还满足下列条件（7—6）将（7—5）式两端积分一次,得（7—7）将（1—7）式两端再积分一次,得（7—8）其中为任意常数.将条件（7—6）分别代入（7—7）及（7—8）式得,于是所求位移为（7—9）上述两例中

3、的关系式（7—1）和（7—5）都含有未知函数的导数,这两式都是微分方程.下面我们介绍有关微分方程的基本概念.定义7.1凡含有未知函数的导数（或微分）的方程,称为微分方程.如果微分方程中的未知函数是一元函数,则称为常微分方程；如果未知函数是多元函数,则称为偏微分方程.微分方程中的未知函数导数（或微分）的最高阶阶数称为微分方程的阶.例7.1和例7.2中得到的方程（7—1）和（7—5）都是常微分方程,其中,例(7—1)是一阶常微分方程,（7—2）是二阶常微分方程.又如为一阶常微分方程,为三阶常微分方程.本章中主要讨论常微分方程,也简称为方程.一般地,阶微分方程

4、具有形式其中是的已知函数,而且必须出现,而等变量可以不出现.定义7.2如果一个函数代入微分方程后能使方程成为恒等式,那么这个函数就称为该微分方程的解.定义7.3如果微分方程的解中含有任意常数,34且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解.如果微分方程的通解中的任意常数被确定,这种不含任意常数的解称为微分方程的特解,用来确定微分方程通解中任意常数的条件称为初始条件.例如例7.1中式（7—2）和式（7—4）是微分方程（7—1）的解,其中式（7—2）是微分方程（7—1）通解,（7—4）是微分方程（7—1）的特解,式（7—3）是微分

5、方程方程（7—1）的初始条件.通常,一阶微分方程的初始条件为或写成,其中为已知数；二阶微分方程的初始条件为或写成其中为已知数.求微分方程满足初始条件的特解的问题,称为初值问题.例7.3验证函数（为常数）是方程的通解,并求满足初始条件的特解.解要验证一个函数是否为已知微分方程的解,只需将函数代入微分方程,看是否成为恒等式,而,把和代入方程,得所以是题设微分方程的解,又因为,这个解中含有一个任意常数,任意常数的个数与微分方程的阶数相同,故函数是题设方程的通解.将初始条件代入通解得,即,从而求得特解为.34§7.2一阶微分方程及其解法一阶微分方程的一般形式是F

6、(x,y,y¢)=0或,有时也写成如下微分形式（7——10）本节我们仅讨论几种特殊类型的一阶微分方程及其解法.7.2.1可分离变量的一阶微分方程定义7.5形如(7—11)的一阶微分方程,称为可分离变量的微分方程,其中分别为与的连续函数.我们可以将方程（7—11）变形为其中,从而上式左端只含变量,右端只含变量,这一步称为分离变量；然后两边积分,得其中是任意常数,这就是可分离变量微分方程的通解表达式.注意,这里已将任意常数事先写出,所以求完不定积分不需再加常数.例7.4求解微分方程解：当时,分离变量得两边积分得即.其中是非零的任意常数.显然也是原方程的解,只

7、要允许,那么就可以包含在中,因此原方程的通解为（C为任意常数）.34由此可以看出,在积分过程中,原函数出现对数函数时,真数一般可以不加绝对值,任意常数也可以写成,这样可使运算方便,也可简化结果.例7.5求方程的通解.解分离变量两边积分得即所求通解为.注意,这里与的关系隐含在式子中,所以此类通解称为原方程的隐式通解.例7.6求微分方程dP=kP(N-P)dt(N,k>0,为常数)的解.此处假设0

8、称为齐次方程,其中是关于这个整体变量的的一元连续函数.例如方程可以变形为所以,该