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1、数学建模第四次大作业姓名学号刘维20116554林胜军20116552王波201165降价折扣券对顾客消费行为的影响【摘要】本文针对降价折扣券对顾客消费行为影响的研究，通过调查数据以及图表分析,建立统计回归模型（logit模型），在MATLAB软件上运用最大似然法估计模型的参数，并作出logit冋归曲线与散点图以及预测值和置信区间，从而对模型进行分析和预测，更好的解决问题。就问题（1）、问题（2）和问题（3）,从折扣券折扣比例的变化对使用折扣券人数比例产生的影响这方面进行分析讨论，对问题（1）,研
2、究结果表明，需建立一个logit回归模型。对问题（2）,由估计模型方程，得出当折扣比例为9.9973%吋，使用折扣券人数比例为25%。对问题（3）,研究表明，折扣比例每增加5%,使用折扣券人数与不使用折扣券人数的比相应的增加，也就是随着折扣比例的增加，使用折扣券人数比例也增加。本文通过再建立一个probit回归模型和logit模型进行比较，对该模型进行评价与结果分析，得出模型的优缺点并对把模型推广和扩展。、模型的假设1•模型的假设(1)假设这1000个顾客是相互独立的。(2)折扣券的折扣比例是固定
3、的。2.符号说明x表示折扌II券的折扌II比例y表示使用折扣券人数比例Y表示使用折扣券人数表示持折扣券人数nif表示使用折扣券人数码表示第i组的使用折扣券人数比例x,表示第i组的折扣比例龙⑴表示折扣比例为兀时使用折扣券人数比例的概率仇表示回归模型的常数项屈表示回归模型的X的系数二、问题分析(1)、为了分析使用折扣券人数的比例与折扣券折扣比例的关系，建立模型。根据问题屮的数据作食用折扌II券人数比例与折扌II比例的散点图，粗略地进行判断。0.800-O0.600-OA0.400-OO0.200-0.
4、050.100.150.200.250.30图I：使用折扣券人数比例与折扣比例的散点图由上图可以看出，使用折扣券人数比例随着折扣券折扣比例的增大而递增，大致是介于0与1Z间的曲线，分析这条曲线应该建立怎么样的回归方程？（2）根据估计的冋归方程，估计使用折扣券人数比例为25%时，折扣券的折扣比例应该多大？（3）根据模型的估计方程，分析折扣券的折扣比例每增加5%,使用折扣人数比例的变化情况。三、模型的建立与求解1•模型建立由于使用折扣券人数比例比例实际上是折扣比例x时Y的平均值，用期望的表示为y=E（
5、Y
6、x）使用折扣券人数比例y是折扣比例x的函数，其取值在区间［0,1］上，如果用普通的方法建立冋归方程，那么很容易求得其线性模型或更接近的非线性曲线，其回归模型为y二0°+〃x+02xJ+03x3+£，其中随机误差£服从均值为0的正态分布，特别地当0产03二0时为线性回归模型。然而在这个问题中，（1）式回归方程中y的取值不一定在［0,1］中。即使y在该范围内取值，由于给定x时，谋差项£也只能取0,1两个值，显然£不具有正态性，而且£的方差依赖于x,具有异方差性，这些都违反了普通回归分析的前提条件。
7、因此，应建立一种logit冋归模型。该模型为：In｛龙（兀）/［I一龙（兀）］｝二0o+0］X其中条件期望龙（兀）二P（YIx）,方差D（YIx）二兀（兀）（l-^（x））龙（X）在［0,1］±取值,logit（龙⑴）取值为（-oo,+oo）2.模型求解首先由问题重述的表中的数据，用最大似然法估计模型参数，其模型为:logit（坷）二1讥再/（1-花•）］二0o+0］X其中兀i二mi/n.利用MATLAB统计工具箱中的命令glmfit求解，用表（1）中的数据输入并执行以下程序：T二［0.050.1
8、00.150.200.30］';Chd二［325170103148］';Total=L200200200200200];Proport二Chd./Total;[b,dev,stats]=glmfit(T,[ChdTotal],'binomial','logit');logitFit二glmval(b,T,'logit');plot(T,Proport,'o',T,logitFit,'r-‘)；xlabel('T');ylabelCProportionofCHD，)b,bi=stats,sc,dev
9、得到logit模型中的参数0°,属的最大似然估计值与它的标准差(见下表)，拟合偏差为0.5102,并得出logit回归曲线与散点图。曲线与散点图为：图1：对应的曲线与散点图再利用命令[yhat,dylo,dyhi]=glmval(b,T,'logit',stats)得到因变量的预测值及置信度为95%的置信区间，结果如下表:折扣比例/%使用折扣券比例预测值置信区间50.1600.1622[0.1313,0.1987]100.2550.2501[0.2175,0.2858]150.35
