次亚（半）正定阵的探讨

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1、莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文次亚（半）正定阵的探讨数学系01数本2001141106林桂松指导老师：杨忠鹏摘要：文章主要是关于次亚（半）正定阵方面的探讨，这些探讨包括从矩阵的次偏序、次迹，次shur补，次和同，次对角占优等方面的探讨，对于次偏序，，本文则首次提出了次偏序的概念，并在这个概念下探讨了次偏序不等式的传递性、元素间的关系的方面。关键词：亚正定阵，次亚正定阵，次偏序，次转置，次对称，反次对称，M矩阵，对角占优矩阵。0引言讨论矩阵的正定性，无论对代数理论或者应用都是十分重要的，1973年Jo

2、hnson在其博士论文中研究了方阵的对称化阵是正定阵时的某些不等式，是正定阵的这类实矩阵称为亚正定阵，屠伯埙等学者已经对该类矩阵进行过深入的研究，随着矩阵理论的发展，袁晖坪等学者则将亚正定阵的概念推广到次对称上，形成次亚正定阵的理论，丰富了矩阵的理论，本文则从亚正定阵的若干性质入手，将其推广到次亚正定阵上。如无特别说明，本文讨论的矩阵和向量都是实的，，，，和分别表示实矩阵的转置，伴随矩阵，迹，秩和行列式，，表示n维向量空间和所有矩阵构成的空间。1基本概念定义1：设，若有则称为亚（半）正定阵。定义2：设，则称矩阵（其中

3、）为次转置矩阵，记为，若，则称为次对称矩阵，若，则称为反次对称矩阵。利用定义2容易证明：（1），，，（2）设表示次对角线元素全为1，其余元素为0的n阶方阵，则，，，，。定义3：设，若有则称为次亚（半）正定阵。9莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文2基本引理由于本文是建立在亚（半）正定阵和次亚（半）正定阵现有的一些结论上，因而有必要对这些结论作一些介绍，这些介绍分两部分来进行，分别是次亚（半）正定阵方面的引理和亚（半）正定阵方面的引理。2．1次亚（半）正定阵方面的引理该部分引用了袁晖坪，马跃超等学者关于次亚

4、（半）正定阵的一些结论，这些结论的证明可以在文献[2]~[4]中查到。定义4：设，，若有则称为次（半）正定阵。引理1：设，，则为次（半）正定阵为（半）正定阵。推论1：设，，则为次正定阵（可逆）使。引理2：设，则为次亚（半）正定阵为亚（半）正定阵。引理3：为次亚（半）正定阵为亚（半）正定阵。引理4：为n阶次亚（半）正定阵，，则，，均为次亚（半）正定阵。引理5：设，则下列条件等价：（1）为次亚正定阵，（2）为次亚（半）正定阵，（3）为次亚正定阵，（4）为次亚正定阵，（5）（可逆）有为次亚正定阵，（6）为次亚正定阵。引理6

5、：设，则为次亚正定阵为次亚正定阵。2．2亚（半）正定阵方面的引理这一部分关于亚正定阵的若干性质，可以在文献[6]~[11]中查到。定义5：设，都是n阶方阵，如果是亚正定阵，就称大于或小于，记为或。定义6：设，都是n阶方阵，如果是亚半正定阵!就称大于等于或小于等于，记为或。引理6：（1）若，，则；（2）若，，则；（3）若，，则；（4）若，，则（其中，均为正实数）。引理7：（1）若且则（亚正定阵的不等式具有传递性）；（2）其中。引理8：若且则其中，。9莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文引理9：有。引理10：

6、（1）若，则；（2）若，则，；（3）若，则；（4）若，则。引理11：设存在，则有，。引理12：若，，则的特征根均大于0小于1，其中表示。引理13：设矩阵为实亚正定矩阵,为实对称矩阵,则必存在可逆矩阵,使得:,=Λ　　其中,S为反对称矩阵,Λ为对角形矩阵。定义7：如果n阶矩阵的主对角线外的元素非正,且为非负矩阵(中每个元素都非负),则称为M矩阵.引理14：若,且(i≠j),则可唯一地分解为,其中为单位下三角型M矩阵,为上三角型M矩阵。引理15：设是正线双严格对角占优阵,即满足:且，则，(其中表示k个的Hadamard积

7、)。3亚正定阵的一些性质本部分主要是在文章的基本引理的基础上运用2.1中给定的工具将2.2的结论推广到次亚正定阵上，这些推广主要从矩阵的次偏序、次迹，次shur补，次和同，次对角占优等方面进行推广，以下是具体的推广。3.1次偏序方面的一些性质9莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文定义8：设，都是n阶方阵，如果是次亚正定阵，就称次大于或次小于，记为或。定义9：设，都是n阶方阵，如果是次亚半正定阵，就称次大于等于或次小于等于，记为或。显然（1）为次（半）亚正定阵。（2），为n阶方阵，，事实上，第二个式子可类证

8、。性质1：（1）若，，则；（2）若，，则；（3）若，，则；（4）若，则（其中，均为正实数）。证明：先证（4），（其中，为正实数）。对于（1）只须令，，，即可。对于（2），，。对于（3），，。性质2：（1）若且则（次亚正定阵的不等式具有传递性）；（2）其中。证明：（1）。（2）即。性质3：若且则，其中，。证明：因为，，所以，有，即及，如果取其中1