探讨正定二次型的应用-论文.pdf

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1、第4卷第2期吕梁学院学报2014年4月Vo1．4No．2JournalofLtlliangUniversityApr．2014·数学研究·探讨正定二次型的应用潘伟云(吕梁学院离石师范分校数学系，山西离石033000)摘要：在二次型中，正定矩阵是比较重要的一类矩阵。它不仅在数学上有广泛的应用，在实际生活中也有很广泛的应用，如在二次曲线和二次曲面方面，证明平面上13个点共线及有关不等式的证明．关键词：正定二次型；二次型；应用中图分类号：0151．21文献标识码：A文章编号：2095—185X(2014)02—0016—021定义实二次型f

2、(，：，⋯，)，若对于任意一组不全为零的实数k。，k，⋯，k都有f(k，k：，⋯，k)>0，就称这个实二次型是正定的。。=：=-=丢1，2，⋯，)=l+d2+⋯+dnx是正定的充要条件是由A，，B可得=一S-，又因为A是可逆实对称矩di>0，i=1，2，⋯，／7,．实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺阵，所以存在正交阵，使得A=序主子式都大于0。[A，]2正定二次型在实际问题中的应用2．1二次曲线或二次曲面的化简-2且得2，学，学例1：运用直角坐标变换化简下面二次曲面的方程。3+2v+2z+2xy一8x一6y+2+3=0其中X=(，

3、Y，)，B=(一4，一3，一1)f310]2Z，2+学2+半2．A=I1120I．J2．2平面上n点共线的证明。埘0o2解：作平移变换：X=Y—，=(1，Ot2，3)．则有(Y—OZ)A(y—)+2B(y一)+3=0，即YAY—YAol—OlAY+OdAa+2BY一2BOt+3=0令=OLAot一2B’O／+3．收稿日期：2013—12—21作者简介：潘伟云(1982一)女，山西河津人，讲师，研究方向为基础数学。16可以证明(2)式中定义的一定是n维向量的内州1积。相反，对于n维向量间的任意一种内积，一定存在一个irt阶正定矩阵A=(

4、o)，使得对任意向量Ol与，可以用(2)式表示，因此，给定了一个1T阶正定矩阵，在维向量间可以用这个矩阵来定义一个内积，于是就得到了它相应的柯西不定式：n—一■—一．．I1CtxixjI≤√磊。xixs。√善0，，Ys·例3：+4y+2z>2xy一2xz2．6根据与单位矩阵合同证明一些结论定理：实二次型。，2，⋯，)=XA正定设=+4y+2z一2xy+2xz，则f的矩阵可的充要条件是A与单位矩阵E合同。例4：A，B是实对称矩阵，且A正定，则存在可逆矩阵尸，使得PJ4尸=E，PBP为对角型。证明：因为A正定，所以存在可逆矩阵P，，使得P

5、'IAP，=E，那么由为对称矩阵知，P，，仍然多元函数极值的判别法则：设n元实函数。，为对称矩阵，从而存在正交矩阵P，使得P：，⋯，)一阶偏导数等于0的点。=(o，20，⋯，(PBP，)P：为对角形，记为棚)，且在点。处具有一切二阶连续偏导数，则当f，}(l0，⋯，加)(10，⋯，棚)1(，⋯，(1o，⋯，加)A：。l⋯(其中A为B的特征值，i=1，2，⋯，1T)IV，r⋯、XnXl＼10，，加／(l0，⋯，加)同时p2(P'IAP1)P2=P'2EP2=E。正定时有极小值。，⋯，加)；当A负定时有令P=PP2，有P1，P2可逆知P可

6、逆，且极大值。，⋯，加)；当不定时无极值；当半正定时．厂的极值不确定。PtAP=E．PfBP=由判别法则可知：讨论多元函数极值问题时，只需要判断由函数的二阶偏导数所组成的矩阵的正定性即可。正定二次型还有还多应用，如在稳定理论，调和2．5在柯西不等式中的应用分析振动理论等方面有很好的应用，有待于我们继若有一个正定的矩阵，通常我们可以设计出一续研究。个柯西不等式，下面我们来了解下它们之间的关系。(1)我们在数学分析中已经学习过著名的柯西参考文献：不等式，就是：[1]北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组．高等lX1Y1+X2+⋯+l≤

7、√++⋯+代数[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2]程云鹏，张凯院，徐仲．矩阵论[M]．西安：西北工业大√++⋯+．(1)学出版社，2006．如果我们用内积的形式表示不等式(1)，即为I[3]K．R．Suleimanova．Stochasicmatriceswitheigenvalurs[J]．(Ot，)l≤lOt1．IJBl。SovietMath．dokl，1949(66)．(2)设A=(0)是一个rt阶正定矩阵，则对于[4]贾正华．从正定矩阵判定定理所想到的[J]．数学通报，向量ot=(l，2，⋯，)=(Y1，Y2，⋯，Y

8、)1995(11)．定义(，)=。(2)17