高中数学必修5自主学习导学案：2.3等差数列的前n项和

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1、2.3等差数列的前n项和（学生版）1．新课引入高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：（1）计算：（2）计算：据说，当其他同学正忙于把这100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速的算出了正确答案：，即高斯的算法实际上解决了求等差数列前100项和的问题，受此启发，用下面的方法计算的前n项和：此方法可以推广到一般方法吗？2．数列的前n项和的概念（1）一般地，我们把a1＋a2＋a3＋…＋an叫做数列的前n项和，记作，即．（2）数列的项an与前n项和Sn的关系：an＝3．等差数列的前n项和的推导设等差数列的前项和为，即两式相加得：，即

2、．又由，所以．上述推导等差数列前n项和的方法称为“倒序相加法”．等差数列的前n项和公式：或公式解读：（1）由5个元素构成：.可知三求二．（2）共同点：须知和；不同点：前者需知道，后者需要知道．（3）若a1、d是确定的，那么，设，上式可写成，若（即d≠0）时，是关于n的二次式且缺常数项．4．等差数列的前n项和的性质(1)等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也构成等差数列，且公差是n2d.如下所示：(2)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为与，则.(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列是等差数列，且首项为a1，公差为

3、.(4)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则①S2n＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd；③＝.若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则①S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)；②S奇－S偶＝an；③＝.(5)由于Sn＝pn2＋qn＝p2－，结合二次函数的性质可知：①如果顶点横坐标－是正整数，Sn在顶点处取得最大值(p<0)或最小值(p>0)．②如果顶点横坐标－不是正整数，Sn在最接近顶点横坐标的正整数处取得最大值(p<0)或最小值(p>0)．※典型例题考点1．等差数列的前n项和公式：或【例1】计算下列各数列的和（1）；（2）；（3）；（

4、4）．【例2】已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)求数列的前n项和Tn.练习1．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．练习2．根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn(1)a１=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=－2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=32练习3．在等差数列{an}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.考点2．已知求

5、：an＝【例3】已知下面各数列的前项和为的公式，求的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.点评：(1)an＝这是一个非常重要的结论，望牢记！(2)由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情形可否有统一表达式表示，若不能统一，则用分段函数的形式表示．练习1．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n＋1；(2)Sn＝n2＋n；(3)若Sn＝n2＋n＋1.求{an}的通项公式．考点3．等差数列的前n项和的最值【例4】在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求S

6、n的最大值．分析：解答本题可先根据条件求出公差d.然后利用Sn或an求Sn的最大值．或利用等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，利用抛物线的图象性质求解．练习1．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求它的最大值．※当堂检测1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　)A．230B．420C．450D．5402．已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和，若a1＝2，S3＝12，则S4＝(　　)A．10B．16C．20D．243．设数列{an}的前n项和Sn＝n

7、2，则a8的值为(　　)A．15B．16C．49D．644．数列{an}中，an＝2n－49，当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n＝________.5．已知等差数列{an}中：(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；(2)a1＝20，an＝54，Sn＝666，求d及n；(3)S7＝14，求a3＋a5.6．已知等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2·a5＝54，公差d<0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值．考点4．等差数列前n项和性质及应用【例5】一个等差数列的前10项之和为

8、100，前100项之和为10，求其前110项之和．分析：解答本题可利用前n项和公