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时间:2019-03-04
《高中数学必修5自主学习导学案:2.3等差数列的前n项和》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3等差数列的前n项和(学生版)1.新课引入高斯的故事:200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:(1)计算:(2)计算:据说,当其他同学正忙于把这100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速的算出了正确答案:,即高斯的算法实际上解决了求等差数列前100项和的问题,受此启发,用下面的方法计算的前n项和:此方法可以推广到一般方法吗?2.数列的前n项和的概念(1)一般地,我们把a1+a2+a3+…+an叫做数列的前n项和,记作,即.(2)数列的项an与前n项和Sn的关系:an=3.等差数列的前n项和的推导设等差数列的前项和为,即两式相加得:,即
2、.又由,所以.上述推导等差数列前n项和的方法称为“倒序相加法”.等差数列的前n项和公式:或公式解读:(1)由5个元素构成:.可知三求二.(2)共同点:须知和;不同点:前者需知道,后者需要知道.(3)若a1、d是确定的,那么,设,上式可写成,若(即d≠0)时,是关于n的二次式且缺常数项.4.等差数列的前n项和的性质(1)等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等差数列,且公差是n2d.如下所示:(2)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为与,则.(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列是等差数列,且首项为a1,公差为
3、.(4)若等差数列的项数为2n(n∈N*),则①S2n=n(an+an+1);②S偶-S奇=nd;③=.若等差数列的项数为2n-1(n∈N*),则①S2n-1=(2n-1)an(an为中间项);②S奇-S偶=an;③=.(5)由于Sn=pn2+qn=p2-,结合二次函数的性质可知:①如果顶点横坐标-是正整数,Sn在顶点处取得最大值(p<0)或最小值(p>0).②如果顶点横坐标-不是正整数,Sn在最接近顶点横坐标的正整数处取得最大值(p<0)或最小值(p>0).※典型例题考点1.等差数列的前n项和公式:或【例1】计算下列各数列的和(1);(2);(3);(
4、4).【例2】已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)求数列的前n项和Tn.练习1.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10的值为________.练习2.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的sn(1)a1=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=-2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=32练习3.在等差数列{an}中:(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;(2)已知a3+a15=40,求S17.考点2.已知求
5、:an=【例3】已知下面各数列的前项和为的公式,求的通项公式.(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2.点评:(1)an=这是一个非常重要的结论,望牢记!(2)由Sn求an时,要分n=1和n≥2两种情况分别计算,然后验证两种情形可否有统一表达式表示,若不能统一,则用分段函数的形式表示.练习1.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求数列{an}的通项公式.(1)Sn=2n+1;(2)Sn=n2+n;(3)若Sn=n2+n+1.求{an}的通项公式.考点3.等差数列的前n项和的最值【例4】在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求S
6、n的最大值.分析:解答本题可先根据条件求出公差d.然后利用Sn或an求Sn的最大值.或利用等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数,利用抛物线的图象性质求解.练习1.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求它的最大值.※当堂检测1.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S20=( )A.230B.420C.450D.5402.已知数列{an}为等差数列,Sn是它的前n项和,若a1=2,S3=12,则S4=( )A.10B.16C.20D.243.设数列{an}的前n项和Sn=n
7、2,则a8的值为( )A.15B.16C.49D.644.数列{an}中,an=2n-49,当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时,n=________.5.已知等差数列{an}中:(1)a1=,d=-,Sn=-15,求n及an;(2)a1=20,an=54,Sn=666,求d及n;(3)S7=14,求a3+a5.6.已知等差数列{an}中,a3+a4=15,a2·a5=54,公差d<0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值.考点4.等差数列前n项和性质及应用【例5】一个等差数列的前10项之和为
8、100,前100项之和为10,求其前110项之和.分析:解答本题可利用前n项和公
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