各地市中考数学压轴题汇总

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1、各地中考数学压轴题汇总(一)17.(2005浙江台州)如图,在平面直角坐标系内,⊙C与y轴相切于D点,与x轴相交于A(2,0)、B(8,0)两点,圆心C在第四象限.(1)求点C的坐标;(2)连结BC并延长交⊙C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得AB2=BP·BE,能否推出AP⊥BE?请给出你的结论,并说明理由;(3)在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2=BQ·EQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,也请说明理由.[解](1)C(5,-4);(2)能。连结AE,∵BE是⊙O的直径,∴∠BAE=90°.在△ABE与△PBA中,AB2=BP·BE,即,又∠ABE=∠PBA,∴△ABE∽△PBA.

2、∴∠BPA=∠BAE=90°,即AP⊥BE.(3)分析:假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ·EQ.Q点位置有三种情况:①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;②若无两条等长,且点Q在线段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足;③若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.解题过程:①当点Q1与C重合时,AQ1=Q1B=Q1E,显然有AQ12=BQ1·EQ1,∴Q1(5,-4)符合题意;②当Q2点在线段

3、EB上,∵△ABE中,∠BAE=90°∴点Q2为AQ2在BE上的垂足,∴AQ2==4.8(或).∴Q2点的横坐标是2+AQ2·∠BAQ2=2+3.84=5.84,又由AQ2·∠BAQ2=2.88,∴点Q2(5.84,-2.88),③方法一:若符合题意的点Q3在线段EB外,则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.由Rt△Q3BR∽Rt△EBA,△EBA的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t,由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得,即得t=,〖注:此处也可由列得方程;或由AQ32=Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗∴Q3点的横坐标为8

4、+3t=,Q3点的纵坐标为,即Q3(,).方法二:如上所设与添辅助线,直线BE过B(8,0),C(5,-4),∴直线BE的解析式是.设Q3(,),过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,∵易证∠Q3AR=∠AEB得Rt△AQ3R∽Rt△EAB,∴,即,∴t=,进而点Q3的纵坐标为,∴Q3(,).方法三:若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,∴∠Q3AB=∠Q3EA,,在Rt△OAF中有OF=2×=,点F的坐标为(0,),∴可得直线AF的解析式为,又直线BE的解析式是,∴可得交点Q3(,).18.(2005上海长宁)如图1,抛物线关于y轴对称,顶点C坐标为(0,h)(h>0),交x轴于

5、点A(d,0)、B(-d,0)(d>0)。(1)求抛物线解析式(用h、d表示);(2)如图2,将ABC视为抛物线形拱桥,①~⑤拉杆均垂直x轴,垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。(i)求拉杆⑤DE的长度;FGxyCBOA图4(ii)若d值增大,其他都不变,如图3。拉杆⑤DE的长度会改变吗?(只需写结论)(3)如图4,点G在线段OA上,OG=kd(比例系数k是常数,0≤k≤1),GF⊥x轴交抛物线于点F。试探索k为何值时,tg∠FOG=tg∠CAO?此时点G与OA线段有什么关系?[解](1)用顶点式,据题意设y=ax2+h代入A(d,0)得a=∴y=x2+h(2)(i)h=9,代入(1)中

6、解析式得y=x2+9据题意OE=d,设D(d,yD)点D在抛物线上,yD=(d)2+9=5,∴DE=5米。(ii)拉杆⑤DE的长度不变。(3)OG=kd,∴点F坐标可设(kd,yF)代入y=x2+h,得:yF=h(1-k2)tg∠FOG=tg∠CAO,=解得(∵0

7、运动但不与A、B重合时,能否使△EF的一边与x轴垂直?若能,请求出此时点的坐标;若不能,请你说明理由。[解](1)设把代入得∴即(2)顶点P(AP=AB=BP=6∴作于G,则,又,在中,∴(3)若轴则,(舍去)∴若轴则,(舍去)∴若轴,显然不可能。∴或20.(2006湖北十堰)已知抛物线:(,为常数,且,)的顶点为,与轴交于点;抛物线与抛物线关于轴对称,其顶点为,连接,,.注:抛物线的顶点坐标为.

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