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1、学校代码：10327学号：1120150524硕士学位论文一类凸优化问题的随机下降算法及其应用学院：应用数学学院专业：应用数学研究方向：非线性分析与经济应用姓名：张艳娜指导教师：申远副教授完成日期：2018年3月答辩日期：2018年5月ADESCENTAlGORITHMWITHSTEPSIZEFORSTRUCTUREDPROBLEMANDAPPLICAITONADissertationSubmittedtoNanjingUniversityofFinanceandEconomicsFortheAcade
2、micDegreeofMasterofScienceBYZhangYan-naSupervisedbyAssociateProfessorShenYuanSchoolofAppliedMathematicsNanjingUniversityofFinanceandEconomicsMay2018学位论文独创性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.论文中除了特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果.其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作
3、了明确的声明并表示了谢意.作者签名：日期：学位论文使用授权声明本人完全了解南京财经大学有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文.保密的论文在解密后遵守此规定.作者签名：导师签名：日期：摘要近年来,最优化问题的研究和发展得到了广泛的关注.随着大数据时代的到来,源于工程、信息、生物等很多应用问题中,所求模型可以被归纳为等式约束优化问题.由于目标函数可能非光滑、问题规模又特别巨大,传统的内点
4、算法等往往不适合,这些问题可以使用增广拉格朗日算法或者ADMM算法等一阶算法求解更为适合.其中,ADMM算法利用目标函数关于两块变量的可分性,把一个规模较大的子问题转化为两个规模较小的子问题求解,大大简化了子问题的计算量.由于这些问题的重要应用价值,近十几年,学者们提出了一系列ADMM的改进算法.其中,ADMM下降算法(DADMM)可以在保持每步计算量基本不变的前提下,通过对部分变量进行延拓,提高了ADMM的收敛速度.另一方面,有学者提出利用随机步长加快投影收缩算法的收敛速度.本文在ADMM下降算法的基
5、础之上,结合了随机步长的思想,提出了随机步长ADMM下降算法(RDADMM),进一步提高了收敛速度.同时,针对目标函数具有特殊结构的情形,有学者提出了线性化ADMM算法,利用目标函数的结构,通过对ADMM子问题进行线性化等改造使其有显式解,简化了子问题求解.基于此算法,又有学者将线性化ADMM算法和ADMM下降算法相结合,提出了线性化ADMM下降算法,在保持子问题有显式解的前提之下提升了线性化ADMM算法的收敛速度.本文结合随机步长思想,提出了随机步长的线性化ADMM下降算法(RDLADMM).通过求解
6、带等式约束的二次规划数值实验,新算法的计算效率得到了验证.本文具体研究内容安排如下：第一章,主要介绍了选题背景和研究意义,以及ADMM算法的国内外研究现状,并阐述了本文的主要工作.第二章,介绍本文的研究成果.针对求解带有两块变量的结构型凸优化问题,我们提出了两种新算法,即RDADMM算法和RDLADMM算法.第三章,给出了本文新算法的收敛性分析和证明.第四章,证明了本文新算法收敛速率为O(1/t).第五章,数值实验.将RDADMM算法应用于求解带有两块变量结构型凸优化问题,验证其计算效率.第六章,对本文
7、的研究进行总结和展望.关键词：变分不等式；交替方向乘子法；线性化交替方向乘子法；随机步长IABSTRACTInrecentyears,theresearchanddevelopmentofoptimizationproblemshavereceivedwidespreadattention.Withtheadventoftheeraofbigdata,theunderlyingmodelarisingfrommanyapplicationproblemssuchasengineering,informa
8、tionandbiology,canbegeneralizedastheequalityconstrainedoptimizationproblem.Becausetheobjectivefunctionmaynotbesmoothandthescaleoftheproblemisoftenparticularlylarge,thetraditionalinteriorpointalgorithmsarenotsuitable.Thesep
