浅议变换及转化思想在数学解题中应用

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1、浅议变换及转化思想在数学解题中应用【摘要】数学的变换与转换就是将待解决或未解决的问题，通过转化或再转化，归结为一个已经能解决的问题，或归结为一个比较容易解决的问题，或归结为一个已为人们所熟知的既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决的思想方法。【关键词】变换与转化数学解题应用【中图分类号】G427【文献标识码】A【文章编号】1006-5962(2012)11(a)-0085-01变换与转换形式多种多样，在中学数学中常见有：1未知向已知转化已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗的方向转化，如综合法，就是对一个未知的新问题，通过联想，转化为已知的途径；

2、或从结论入手进行转化，如分析法。例1已知求证b224ac解：等式可化为则二次方程有实根，.••b2$4ac注：由已知条件提供了一个等式，充分挖掘隐含条件，把它转化为方程，使问题转化为一个一元二次方程根的讨论问题。2一般与特殊的相互转化例2F(6)=sin29+sin2(B+a)+sin2(B+B),其中a、B适合OWaWBWn的常数，试问a,3为何值时，F(B)为与e无关的定值。解：设F(0)二sin29+sin2(0+a)+sin2(0+B)是与9无关的定值。取9=0,-a,-B,时依次得F(0)=sin2a+sin2B①F(-a)=sin2a+sin2(a-^)(2)F(

3、-^)=sin2B+sin2(a-B)③④，且有由①②③sin2a=sin23=sin2(a-p)⑤由①④sin2a+sin2=(6)由⑤⑥sin2a=sin23=sin2(a—B)二因OWaWBWnOWa-BW"则sin2a=sin2B=sin2(B-a)=为定值注：从上述解法启示，有些带有一般性问题，往往可以通过由一般转化为特殊来处理，当“特殊”解决之时，“一般”也随之解决了。反之有些带有特殊性的问题，也可以转化为特殊性问题来处理。3数与形的转化数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，它包括两方面，一是“以形助数”，即将“数”的问题借助于图形性质使之直观、形象；二

4、是“以数辅形”，即将“形”的问题经过数量化处理，并借助计算。例3已知x21y^lIoga2x+loga2y=loga（ax2）+loga（ay2）a^l求函数w=logaxy的值域解：设u=logaxv=logay得u2+v2=2u+2v+2即（uT）2+（v~l）2=22xNlyNlu20u20它表示的图形为圆弧（见图1）w=logax+logay=u+v则v二一u+ww表不直线在轴上的截距，当u二0时，（v~l）2二4-1,v=+l（负值不合舍去），圆心（1,1）到直线u+v-w=o的距离为2.••W二2+2或w二2（1-）（舍弃）从图知wmin=l+,wmax二2+2故

5、得w的值域为[+1,2+2]注：“以形助数”，其方法的关键是根据题设条件和探求目标，联想或构造出一个恰当的图形，利用图形探索解题途径。“以数解形”主要体现在解析几何中，即所谓解析法。4复杂问题向简单问题转化很多复杂或陌生或不规范的数学问题，应用变换与转化的思想、换一个角度观察、换一种方式思考、换一种语言叙述。在另一种观点的统帅下对问题本质有更为明确、清晰的理解，达到解决或易于解决的目的。例3已知OA、0B是圆锥底面互相垂直的两条半径，C是母线SB的中点，SA=30A=2则A、C两点在圆锥侧面上最短距离是。解：将圆锥侧面沿母线SA展开成扇形，则线段AC就是所求的最短距离，圆锥侧

6、面展开图扇形的圆心角为OOA丄0B长度为的...ZASO在AASC中由余弦定理得：AC=注：把空间问题转化变成平面问题，是立体几何中变形主要目标（见图2）。以上三种思想方法都是变化与转化思想的体现，可见变化与转化思想是解答高考题的法宝，必须深刻体会，灵活应用。