浅议逆向思维在初中数学解题中应用

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1、浅议逆向思维在初中数学解题中应用摘要：文章通过众所周知的三个故事浅显易懂地揭示了何为逆向思维，然后列举了初中内容的10个数学题例,逐个分析归类，说明了在数学解题和证题过程中运用逆向思维的四大功效，总结发掘、运用、推广逆向思维来解决数学问题的重要意义。关键词：逆向思维初中数学教学解题运用何谓逆向思维呢？让我们用三个熟悉的故事来揭示。记得小时候语文课本上有一个《乌鸦喝水》的故事，讲述一只口渴的乌鸦找到了一个瓶深、瓶口小、里面水少的瓶子，它无法把头伸下去喝到水。后来，它想了一个办法，叼了些小石头放进瓶里，使水位升上来，

2、终于喝上了水。另有一个故事，讲述的是几位小朋友在一起玩皮球时，不小心把球掉进了一棵大树的树洞里，树洞小而深，人无法伸手或用物下去取出皮球，小朋友们就想出往树洞里灌水的办法，使皮球浮出树洞。这两个故事有个共性就是：按一般的做法伸下去取物不成，就换思维方法，从其它方面入手，使物升上来取。还有一个妇孺皆知的北宋司马光孩提时代破缸救友的故事，一般看来，要使掉进水缸里的孩子不被淹死，就要把他拉出来，使“人离开水”，但是缸高、人矮、力气小，怎么办呢？司马光急中生智，把缸打破，来了个“水离开人”。这些故事给了我们有益的启示：离

3、开常走的大道另辟蹊径，运用逆向思维，往往会有意想不到的收获。日常生活如此，学习数学也不例外，运用逆向思维常常会使问题得到出奇、巧妙的解决。下面就举例浅谈逆向思维在初中解题中的具体运用。一、以简驭繁，化难为易，逆思倒推，豁然开朗例1.计算++++O对于此题，若把中间的数补齐后计算，通分极繁，若分析其规律和结构特点，不难发现：=;由分母中的乘积展开联想，逆用异分母分数相加减的运算法则，又可发现=1-；=-•••=-,所以该题通过加减合并算出最后结果为1-=0以后见此类题目可以触类旁通。例2•计算。这题看似简单，但若直

4、接运算，就不易算对结果。如果进行逆向思考，逆用同分母有理数加法法则并进行约分，则能快速地算出结果。其解法为：原式二+=+=O由此可见，运用逆向思维收到了以简驭繁的效果。二、别出心裁、"连锁反应”、“金蝉脱壳”、殊途同归例3.求1+2+22+23+……2n的和。初中还没有学数列知识，不知道运用公式求和，按常规解法难以解出结果。如果令SJ+2+22+23+……2n,然后将两边同时乘以2,则有2S-2+22+23++2n+2n+l,将两个式子左右两边分别相减,就会得到所求的结果为2n+l-lo例4.(10+6+2+2)

5、/(5+3+2+1)。如果按常规方法，运用分母有理化很难算出结果。但仔细观察，你会发现捷径，即将分子分母同时乘以2,然后将分子保留为2(10+6+2+2),分母则用乘法的分配律算成了(10+6+2+2)最后一约分结果就出来了。这两题的解法可谓别出心裁，殊途同归。例5.计算3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)-264+1这道题目式子长而数字大，若按整式乘法按部就班地展开运算，显然很繁琐，且易错，如果从整式乘法的逆运算因式分解联想平方差公式，把3看成(2-1)(2+1)=22-1,再反复

6、运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,就会产生"连锁反应”，有“金蝉脱壳”之效，轻而易举地算出结果。相信大家都能写出解题过程和结果。三、声东击西，推此及彼，“柳暗花明”，迎刃而解例6.当m为何值时，两方程2x2+mx+2=0和x2-2mx+l=0中至少有一个方程有实数根？本题属于“至少型”问题，从正面考虑，则要分一个、两个实数根两种情况进行讨论，计算比较复杂，如从''至少有一个”的反面“一个都没有”入手思考，情况就简单得多。解：若两方程都无实根，则△l=m2-163）的锐角多于3个，那么这n个内角中至少

7、有4个角（不妨设为A、B、C、D）都是锐角，则有A+B+C+DO时，直线经过一、二、三象限，抛物线开口向上，只有答案B符合条件，但已排除。（2）当a