浅议逆向思维在几何证明题中的应用

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1、浅议逆向思维在几何证明题中的应用习水县桃林乡沙溪附中任德波几何证明在初中各年级都有不同形式、深浅程度不一的题型，七年级讲究一些基本定理的产生、应用，证明的难度不大；八年级开始有所增强，开始就证明三角形全等，再用轴对称加以巩固并产生一些定理，又通过四边形得以拓展，可以证明相关的线段相等、倍分，角相等、倍分等情况；九年级更是利用旋转、中心对称得到充分的提升，又通过圆把七八年级的知识进行了概括，更全面的把握，最后应用相似把知识达到了顶峰。下面举例谈谈初中阶段应用逆向思维进行几何证明。例1：如图1，有一张长方形纸片ABCD，沿对角线AC把△ACD翻至△ACD＇

2、,AD＇与BC相交于点E,判断△AEC的形状并说明理由.分析：要判断△AEC的形状，先应知道三角形有哪些形状，从角在大小可分为锐角三角形、直角三角形、CDABD＇E图1钝角三角形，从边的关系可分为等腰三角形、等边三角形两类特殊的三角形，还可结合两种三角形得等腰直角三角形。于是可利用掌握的情况对△AEC进行假设，其中锐角三角形和钝角三角形不够特殊，应着重判断是不是直角三角形或等腰三角形、等腰直角三角形或等边三角形等。如果△AEC是等腰三角形，则∠EAC=∠ECA即可，而△ACD＇是△ACD沿AC翻折的，可知∠DAC=∠EAC,同长方形纸片ABCD可得AD

3、∥BC,则有∠DAC=∠ECA,所以∠EAC=∠ECA,△AEC为等腰三角形。那是不是等腰直角三角形，∠AEC=∠ABE+∠BAE,而∠ABE=90°，∠AEC不可能是90°，所以不可能是等腰直角三角形；等边三角形呢？条件不成立。分析准确了，再按照分析的顺序倒着写回去，证明过程便可得到。以上证明过程可为：证明：∵长方形ABCD的对边AD∥BC,∴∠DAC=∠ECA,∵△ACD＇是△ACD沿AC翻折得到的∴∠DAC=∠EAC∴∠EAC=∠ECA∴△AEC是等腰三角形至于其它情况，不必写出来。在九年级仍有证明类似的问题，这时已经在圆的内容中了。同样也可用逆

4、向思维得到解决。例2、如图2，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.（1）求证：MN是半圆的切线（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.M求证：FD=FG.ABGDCFEN¬图2分析：（1）MN是切线，则MN⊥AB,怎样才能达到这目的呢？看角吧。∠CAB+∠CAM=90°便可，而AB是半圆的直径，∠ACB=90°,则有∠CAB+∠CBA=90°又已知∠MAC=∠ABC，则有∠CAB+∠CAM=90°（2）要证FD=FG,则证∠FCG=∠DGF;要证∠FCG=∠DGF，分别看这两角所

5、在的三角形或与之相等的角，其中DE⊥AB，△DEB是直角三角形，∠ACB=90°,∠DGF=∠CGB,这样只需证明∠DBE=∠CBD即可，而D是弧AC的中点可得DBE=∠CBD。由此问题迎刃而解。证明：（1）∵AB是直径，∴∠CAB=90°∴∠CAB+∠ABC=90°.∵∠MAC=∠ABC,∴∠MAC+∠CAB=90°,即MA⊥AB.∴MN是半圆的切线.（2）∵D是弧AC的中点∴∠DBC=∠ABD.∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB=90°,∵DE⊥AB,∴∠FCG+∠ABD=90°.∵∠DBC=∠ABD,∴∠FDG=∠CGB=∠FGD,∴FD=FG.