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时间:2019-03-04
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1、.1.已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD的长.ADBC解:延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=22.已知:BC=ED,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF和EF∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠E
2、BF=∠BEF。∵∠ABC=∠AED。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。...1.已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=ACBACDF21E过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF,可得,∠EFD=CGDDE=DC∠FDE=∠GDC(对顶角)∴△EFD≌△CGDEF=CG∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC
3、=CG又EF=CG∴EF=AC2.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD(SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E...∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C1.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF=EB,连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°∵EB=EF,CE=CE
4、,∴△CEB≌△CEF(SAS)∴∠B=∠CFE∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°∴∠D=∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠FAC∵AC=AC∴△ADC≌△AFC(SAS)∴AD=AF∴AE=AF+FE=AD+BE6.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。在BC上截取BF=AB,连接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠
5、FCE,CE平分∠BCD,CE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD...7.已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C证明:设线段AB,CD所在的直线交于E,则:△AED是等腰三角形。∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.8.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:PC-PB6、∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE证明:延长BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE∴AC–AB=FC,FB=2BE∵∠ABC=3∠C∴∠ABE+∠FBC=3∠C∴∠AFB+∠FBC=3∠C...∵∠AFB=∠C+∠FBC∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C∴∠FBC=2∠C即∠FBC=∠C∴FB=FC∴AC-AB=FB=2BE10.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.解:延长AD至BC于点E,∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC7、=∠ACB∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC在△ABD和△ACD中{AB=AC∠1=∠2BD=DC∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC11.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA证明:∵OM平分∠POQ∴∠POM=∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ∴∠MAO=∠MBO=90∵OM=OM...∴△AOM≌△BOM(AAS)∴OA=OB∵ON=ON∴△AON≌
6、∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE证明:延长BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE∴AC–AB=FC,FB=2BE∵∠ABC=3∠C∴∠ABE+∠FBC=3∠C∴∠AFB+∠FBC=3∠C...∵∠AFB=∠C+∠FBC∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C∴∠FBC=2∠C即∠FBC=∠C∴FB=FC∴AC-AB=FB=2BE10.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.解:延长AD至BC于点E,∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC
7、=∠ACB∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC在△ABD和△ACD中{AB=AC∠1=∠2BD=DC∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC11.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA证明:∵OM平分∠POQ∴∠POM=∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ∴∠MAO=∠MBO=90∵OM=OM...∴△AOM≌△BOM(AAS)∴OA=OB∵ON=ON∴△AON≌
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