1.4有限群地局部性

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1、实用文案§1.4有限群的局部性1.4.1有限群的局部性问题群的概念源于19世纪30年代证明有理系数多项式时无有限形式的根表达式，此后，包括有限群在内，群的概念进一步发展，其研究也逐步舍弃元素的具体内容，转向抽象系统的研究。群理论的研究可以归结为三个主要方面：群结构的一般研究，群表示研究以及理论。由于群概念和理论的普适性，因此，它广泛地运用于变码理论、晶相理论及动力系统等领域，同时也深刻地推动着几何学的发展。在有限群的研究过程中，群的结构的研究占据着重要地位，而用群的各类子群描述群的特征则具有方法论上的意义，显然，子群及其性质是群重要的局部特征，因此，所谓有限群的局部性问题是指利用

2、有限群的子群及其性质，讨论其对有限群构造的影响的问题，如利用子群的局部性质研究有限群的可解性、超可解性、幂零性是群论中的一个重要内容，特别地，利用群的某些特殊子群，如极大子群、极小子群、子群、子群的极大子群、子群的极大子群、阶循环子群等满足某些特性的子群，甚至群系的上根等来判断群的可解性、超可解性、幂零性，方法十分有效，结果也十分丰富。众所周知，在有限群的研究过程中，正规子群是群论中一个极重要的概念，多年来，人们围绕这个概念从两个方面进行了扩展。第一种方法是对正规子群施加更多的限制，例如一个正规子群可看作对群的所有内自同构都保持不变的子群，在这个方向上，两个更强的概念被提出：称群

3、的子群为的特征子群，若对群的所有自同构都保持不变；称群的子群为的全不变子群，若对群的所有自同态都保持不变。第二种方法是对正规子群或其具有的性质减弱某些限制。尤其在对正规子群具有的性质的弱化方面，国内外群论专家已经引进比正规性更弱的一些定义，如拟正规性[4]（置换子群[5]）、拟正规性[6]、半正规性[7]（半置换子群[8]）、半正规性[7]（半置换子群[8]）、苏-半正规性[9]、正规性[10]、弱正规性[11]、正规性[12]、条件置换[13]、完全条件置换[13]、正规子群[14]、弱置换嵌入子群[15]、-标准文档实用文案补子群等。事实上，如何用较弱的条件去刻划群的结构，即

4、用群的各类子群描述群的特征，不仅具有方法论上的意义，也是目前有限群研究的一个新热点，归纳地讲，该方向又至少有两个子方向：1、可补子群方向2、可置换子群方向。其中，第一部分考虑补子群的特殊性，又可以分为：一般型、对偶性和商群型，分别如第三章的正规子群、第二章的-补子群、第五章的补子群，第二部分考虑补子群的特殊性，又可以分为：一般型、共轭型，如第七章的半置换子群、第八章的完全条件置换。当然，也存在两者之间交叉的内容，不妨称为综合型，如第六章的正规子群,弱置换嵌入子群。特别需要指出的是，郭文彬学派利用群类理论在该方面所做的工作，如文[16]利用覆盖子群研究有限群的超可解性与幂零性，从方

5、法论上讲，实现了有限群局部问题研究的批处理，值得关注。1.4.2可补子群方向的一些定义及其之间的关系定义1.4.1设为群的子群，称在中可补，若存在的子群，使，并且，这时，称为在中的补子群。定理1.4.2（）设为群的正规子群，则（1）在群中有补；（2）若或可解，和是在中的两个补群，则存在使得。定理1.4.2是著名的定理，它是关于特殊正规子群的定理，它反映了一类特殊正规子群的可补性，受该定理的启发，人们引出了定义1.4.1，并且获得很多结果，如W.Gashütz获得定理1.4.3，并得到推论1.4.4。定理1.4.3设为有限群，，交换，又，，则（1）若在群中有补，则在群中有补；（2）

6、若在群中有补，且所有这样的补全在中共轭，则在群中的补也在中共轭。推论1.4.4设是群的交换正规子群，则在中有补的充要条件为对于的每个子群，在中也有补。象以上深刻的结果还有那多，然而人们的研究思路又向新的方向拓展，即在定义1.4.1的基础上，通过对可补性添加和弱化一些条件，分别获得了以下许多概念。定义1.4.5群的子群称为苏-半正规的，如果存在的子群，使得，但对于任意的真子群，有。定义1.4.6称群的子群为的正规子群，如果存在的正规子群，使得且，其中。定义1.4.7称群的子群为的弱正规子群，如果存在的次正规子群，使得且，其中。标准文档实用文案定义1.4.8称群的子群为的正规子群，如

7、果存在的次正规子群，使得且，其中为包含在中最大的次正规子群。定义1.4.9子群在中可补，若中存在正规子群使得且，其中为子群的子群。定义1.4.5由苏向盈于1988年在文[9]中提出，并且利用苏-半正规子群得到有限群为超可解群的若干结果，此后，国内群论学家利用子群的苏-半正规性相继得到了许多结果，例如，王品超在文[16-19]中利用子群的苏-半正规性得到幂零群、超可解群、可解群的一些充分条件；韦华全等人在文[20]中利用某些幂零子群的苏-半正规性讨论了有限群的可解性。定义1.4.6