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1、实用文案§1.4有限群的局部性1.4.1有限群的局部性问题群的概念源于19世纪30年代证明有理系数多项式时无有限形式的根表达式,此后,包括有限群在内,群的概念进一步发展,其研究也逐步舍弃元素的具体内容,转向抽象系统的研究。群理论的研究可以归结为三个主要方面:群结构的一般研究,群表示研究以及理论。由于群概念和理论的普适性,因此,它广泛地运用于变码理论、晶相理论及动力系统等领域,同时也深刻地推动着几何学的发展。在有限群的研究过程中,群的结构的研究占据着重要地位,而用群的各类子群描述群的特征则具有方法论上的意义,显然,子群及其性质是群重要的局部特征,因此,所谓有限群的局部性问题是指利用
2、有限群的子群及其性质,讨论其对有限群构造的影响的问题,如利用子群的局部性质研究有限群的可解性、超可解性、幂零性是群论中的一个重要内容,特别地,利用群的某些特殊子群,如极大子群、极小子群、子群、子群的极大子群、子群的极大子群、阶循环子群等满足某些特性的子群,甚至群系的上根等来判断群的可解性、超可解性、幂零性,方法十分有效,结果也十分丰富。众所周知,在有限群的研究过程中,正规子群是群论中一个极重要的概念,多年来,人们围绕这个概念从两个方面进行了扩展。第一种方法是对正规子群施加更多的限制,例如一个正规子群可看作对群的所有内自同构都保持不变的子群,在这个方向上,两个更强的概念被提出:称群
3、的子群为的特征子群,若对群的所有自同构都保持不变;称群的子群为的全不变子群,若对群的所有自同态都保持不变。第二种方法是对正规子群或其具有的性质减弱某些限制。尤其在对正规子群具有的性质的弱化方面,国内外群论专家已经引进比正规性更弱的一些定义,如拟正规性[4](置换子群[5])、拟正规性[6]、半正规性[7](半置换子群[8])、半正规性[7](半置换子群[8])、苏-半正规性[9]、正规性[10]、弱正规性[11]、正规性[12]、条件置换[13]、完全条件置换[13]、正规子群[14]、弱置换嵌入子群[15]、-标准文档实用文案补子群等。事实上,如何用较弱的条件去刻划群的结构,即
4、用群的各类子群描述群的特征,不仅具有方法论上的意义,也是目前有限群研究的一个新热点,归纳地讲,该方向又至少有两个子方向:1、可补子群方向2、可置换子群方向。其中,第一部分考虑补子群的特殊性,又可以分为:一般型、对偶性和商群型,分别如第三章的正规子群、第二章的-补子群、第五章的补子群,第二部分考虑补子群的特殊性,又可以分为:一般型、共轭型,如第七章的半置换子群、第八章的完全条件置换。当然,也存在两者之间交叉的内容,不妨称为综合型,如第六章的正规子群,弱置换嵌入子群。特别需要指出的是,郭文彬学派利用群类理论在该方面所做的工作,如文[16]利用覆盖子群研究有限群的超可解性与幂零性,从方
5、法论上讲,实现了有限群局部问题研究的批处理,值得关注。1.4.2可补子群方向的一些定义及其之间的关系定义1.4.1设为群的子群,称在中可补,若存在的子群,使,并且,这时,称为在中的补子群。定理1.4.2()设为群的正规子群,则(1)在群中有补;(2)若或可解,和是在中的两个补群,则存在使得。定理1.4.2是著名的定理,它是关于特殊正规子群的定理,它反映了一类特殊正规子群的可补性,受该定理的启发,人们引出了定义1.4.1,并且获得很多结果,如W.Gashütz获得定理1.4.3,并得到推论1.4.4。定理1.4.3设为有限群,,交换,又,,则(1)若在群中有补,则在群中有补;(2)
6、若在群中有补,且所有这样的补全在中共轭,则在群中的补也在中共轭。推论1.4.4设是群的交换正规子群,则在中有补的充要条件为对于的每个子群,在中也有补。象以上深刻的结果还有那多,然而人们的研究思路又向新的方向拓展,即在定义1.4.1的基础上,通过对可补性添加和弱化一些条件,分别获得了以下许多概念。定义1.4.5群的子群称为苏-半正规的,如果存在的子群,使得,但对于任意的真子群,有。定义1.4.6称群的子群为的正规子群,如果存在的正规子群,使得且,其中。定义1.4.7称群的子群为的弱正规子群,如果存在的次正规子群,使得且,其中。标准文档实用文案定义1.4.8称群的子群为的正规子群,如
7、果存在的次正规子群,使得且,其中为包含在中最大的次正规子群。定义1.4.9子群在中可补,若中存在正规子群使得且,其中为子群的子群。定义1.4.5由苏向盈于1988年在文[9]中提出,并且利用苏-半正规子群得到有限群为超可解群的若干结果,此后,国内群论学家利用子群的苏-半正规性相继得到了许多结果,例如,王品超在文[16-19]中利用子群的苏-半正规性得到幂零群、超可解群、可解群的一些充分条件;韦华全等人在文[20]中利用某些幂零子群的苏-半正规性讨论了有限群的可解性。定义1.4.6
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