解析几何之椭圆

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1、解析几何之椭问题1:椭圆如何定义的，如何利用这个定义？知识诊断：平面内与两个定点片，鬥的距离之和为常数2d,2g>F}F2的动点尸的轨迹叫椭圆，其中两个定点件坊叫椭圆的焦点•，

2、耳马

3、为焦距2c当

4、P片

5、+1P鬥

6、=2a>

7、好场

8、时，P的轨迹为椭圆;当

9、P耳

10、+

11、P坊

12、=2av

13、片坊

14、时,P的轨迹不存在;当

15、卩耳

16、+

17、昭

18、=2°=

19、£巧

20、时,P的轨迹为以百，鬥为端点的线段注意：焦距要小于所给的常数即2c<2«典例分析：例题1：(湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点111发的光线，经椭

21、圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A.4aB.2(a-c)C.2(a+c)D.以上答案均有可能［解析］按小球的运行路径分三种情况：(1)A-C-A，此时小球经过的路程为2(a-c);(2)A-B-D-B-A^此时小球经过的路程为2(a+c);此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【变式练习】1.(2010•佛山南

22、海)短轴长为厉，离心率^=

23、的椭圆两焦点为片也,过片作直线交椭圆于A、B两点，则厶ABE的周长为()A.3B.6C」2D.24［解析］C.长半轴a=3,AABf；的周长为4a=122.(广雅中学2009-2010学年度上学期期中考)已知P为椭圆令+話二1上的一点，M,N分别为圆(x+3)2+/=1和圆(—3)2+/=1上的点，则+

24、PN

25、的最小值为()A.5B.7C.13D.15［解析］B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，PC+PD=10,PM+PN的最小值为10-1-2=7兀2v21.己知件鬥为椭圆一+二=1的两个焦点，过斥的

26、直线交椭圆于A、B两点若122591

27、巧A

28、+

29、&创=12,则AB=o［解析］AABd的周长为4°=20，AB=8问题2：椭圆的标准方程是如何建立的知识诊断：椭圆的标准方程是在以两焦点的屮心为坐标原点，两焦点所在的直线为坐标轴的条件下得出来的，焦点在横轴上，标准方程式:=l(a>0,b>0)o焦点在纵轴上，标准方程为：斗二=1@>0力>0)。alr典例分析：例题1：设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为4血一4,求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参

30、数久c的式子“描述”出来2222［解析］设椭圆的方程为一+2~=1或丄?+-T=1(。>0,/?>0),贝!Jabcrhrb=c2,即kvl・2上kI又k>0,・・・0

31、知方程兀2cos+/sin=l(&w(0,龙)),讨论方程表示的曲线的形状［解析］当0e(0,-)时，sin&vcos。，方程表示焦点在y轴上的椭圆,4当e=-时，sin&二cos&,方程表示圆心在原点的圆，4当&g(-,-)时，sin&>cos〃，方程表示焦点在x轴上的椭圆42122—6椭圆—+=1的离心率为2,则加二4mJ4—ATI］［解析］当焦点在X轴上时，=当焦点在V轴上时，件伴二丄二加=0,臥23综上—或33问题3：求椭圆的标准方程的方法有哪些知识诊断：1、求椭圆的标准方程首先确定焦点在那条坐标上，然后求方程的有关

32、参数，方法有三：一是直接根据定义由椭圆上的点到两焦点的距离和求G,然后求b,最后写标准方程。二是由条件列方程组求d,b写标准方程。三是利用待定系数法设标准方程。找有关的方程组求系数。2、设标准方程时注意：当焦点不确定时，可设为：Ar2+B/=l(A>0,B>0,A^S)或x2y2—+—=l(m>0,n>0,mn)omn典例分析：例题1：椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是侖，求这个椭圆方程.［解析］¥一2血・・」"皆，...方=3,所求方程为—+^-=1或兰+乂=1b=

33、2c［c=^3129912【名师指引】根据题意选择合适的求法处理此题.【变式练习】22q1、(2010深圳模拟)设分别为椭圆二+・=1(。>0上>0)的左右顶点，点(1丄)为cT厅2椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距。(1)求椭圆的标准方程。(2)设点P(4,x),若直线AP,BP分别于椭