高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版

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1、高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点、的距离之和等于定长（）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作）大于这两个定点之间的距离（记作），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当时，点的轨迹是线段；（ⅲ）当时，点的轨迹不存在。注2：若用表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为（，），即.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：千万不可忘记。2.椭圆的第二

2、定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆。二、椭圆的标准方程（1）焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是（）；（2）焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是（）.41高中数学讲义之解析几何注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在轴还是在轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟走，椭圆的焦点在轴；长半轴跟走，椭圆的焦点在轴。（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为（）或（）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在轴上还是轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为（，，且）.一、椭圆的性质以标准方程

3、（）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：，；（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为，；上下顶点分别为，；（4）长轴长为，短轴长为，焦距为；（5）长半轴、短半轴、半焦距之间的关系为；（6）准线方程：；（7）焦准距：；（8）离心率：且.越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁；（9）焦半径：若为椭圆在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有，；41高中数学讲义之解析几何（1）通径长：.注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点和右准线：为例，可求得其焦准距为.注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该

4、椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为（），过其焦点且垂直于轴的直线交该双曲线于、两点（不妨令点在轴的上方），则，，于是该椭圆的通径长为.一、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指、、的值或它们之间的关系，由这个关系结合，我们可以确定出、、的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到、、的值。（1）椭

5、圆的标准方程中的参数、、是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；、、三者之间的关系：必须牢固掌握。（2）求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数、。根据题目已知条件，我们列出以、为未知参数的两个方程，联立后便可确定出、的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在轴或轴上，则以、为未知参数的方程组只有一个解，即、只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以、41高中数学讲义之解析几何为未知参数的方程组应有两个解，即、应有两个值。（1）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为，但此时、必须满足条件：，，且.一、点与椭圆的位置关系点与椭圆（）的位置关系

6、有以下三种情形：（ⅰ）若，则点在椭圆上；（ⅱ）若，则点在椭圆外；（ⅲ）若，则点在椭圆内；【例题选讲】题型1：椭圆定义的应用1.平面内存在一动点到两个定点、的距离之和为常数（），则点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.线段D.椭圆或线段解：由题意知，（ⅰ）当时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当时，点的轨迹是线段.故点的轨迹是椭圆或线段2.已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，则点的轨迹方程为__________.41高中数学讲义之解析几何解：圆：的圆心坐标为，半径连接，由是直线的中垂线知，而，于是点的轨迹是以，为左右焦点的椭圆，其中，，，又该椭圆的中心为坐标原点故点的轨迹方程

7、为　　2.已知点，点是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交圆的半径于点，当点在圆周上运动时，点的轨迹方程为__________.解：圆：的圆心坐标为，半径连接，由是直线的垂直平分线知，而，于是点的轨迹是以，为左右焦点的椭圆，其中，，，又该椭圆的中心为的中点故点的轨迹方程为注：本题点的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点41高中数学讲义之解析几何对称，其方程可由把椭圆沿轴向右平移了个单位得到。4.方程表示的曲线是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段解：由，有这