高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版).pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长2a（2aF1F2）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作2a）大于这两个定点之F1F2间的距离（记作2c），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（ⅰ）当2a2c时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当2a2c时，点的轨迹是线段F1F2；（ⅲ）当2a2c时，点的轨迹不存在。MF

2、MF2a12注2：若用M表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为（2a2c，F1F22cMF1MF2F1F2），即.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条MF1MF22a件：千万不可忘记。2.椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e（0e1）的点的轨迹叫做椭圆。二、椭圆的标准方程22xy221（1）焦点在x轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是ab（ab0）；22yx1y22（2）焦点在轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是ab（ab0）.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯

3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯y注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x轴还是在轴，主要看长半轴跟yy谁走。长半轴跟x走，椭圆的焦点在x轴；长半轴跟走，椭圆的焦点在轴。（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设2222xyyx112222其方程为ab（ab0）或ab（ab0）；若题目未指明椭圆的焦22点究竟是在x轴上还是y轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为mxny1（m0，n0，且mn）.三、椭圆的性质22xy122以标准方程ab（ab0）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：a

4、xa，byb；（2）对称性：关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为A1(a,0)，A2(a,0)；上下顶点分别为B1(0,b)，B2(0,b)；（4）长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c；222（5）长半轴a、短半轴b、半焦距c之间的关系为abc；2ax（6）准线方程：c；2b（7）焦准距：c；ce（8）离心率：a且0e1.e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁；22xy122（9）焦半径：若P(x0,y0)为椭圆ab在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，PF1aex0PF2aex0有，；2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5、⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2b2（10）通径长：a.注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点F2(c,0)和右22222aaacbxc准线l：c为例，可求得其焦准距为ccc.注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最22xy122短的弦。设椭圆的方程为ab（ab0），过其焦点F2(c,0)且垂直于x轴的直线22bbA(c,)B(c,)交该双曲线于A、B两点（不妨令点A在x轴的上方），则a，a

6、，于是该222bbbAB()2椭圆的通径长为aaa.四、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，222并给出了“特征值”（指a、b、c的值或它们之间的关系，由这个关系结合cab，我们可以确定出a、b、c的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到a、b、c的值。（2）椭圆的标准方程中的参数a、b、c是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；a、b、222c三者之间的关系：cab必须牢固掌握。（3）求椭圆的标准

7、方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a、b。根据题目已知条件，我们列出以a、b为未知参数的两个方程，联立后便可确定出a、b的值。特别需要y注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在x轴或轴上，则以a、b为未知参数的方程组只有一个解，即a、b只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以a、b为未3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯知参数的方程组应有两个解，即a、b应有两个值。22（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为mxny1，但此时m、n必须满足条件：m0，n0，且mn.五、

8、点与椭圆的位置关系22x