“耐克”函数的性质

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1、“耐克”函数及其性质延安市第一中学陕西洛川712400常来胜安塞高级中学陕西安塞717400加艳对于函数和来说，大家并不陌生，掌握的也不错。但对于函数来说，看起来简单，掌握就不那么容易了,其图象形如“耐克”商标，由此得名“耐克”函数。下面我们就研究其函数的一些性质（定义域，值域，图像，对称性，单调性，奇偶性）（1）定义域：（2）奇偶性:首先函数定义域关于原点对称，又,故f(x)为奇函数，所以函数的图像（如下）关于原点对称(对称性)（3）图像如下：图像为双曲线，分两支；中心对称图形，以直线和为渐近线，在第

2、一象限形状就是个“耐克”的形状。（4）值域：1）当时:利用均值定当且即时，等号成立；2）当时:,利用均值定理:当且仅当即时，等号成立。综上知，函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).5（5）单调性：由于奇函数在对称区间上的单调性相同，故只研究当x﹥0时的单调性： 1)定义法：任取且则令 只有正负不定，故只要限定在某个范围内取值即可，因此有：当 时，，此时.当时，,此时.由上可知，函数在(0,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增.又由函数在对称区间上单调性相同知，f(x)在(-∞,-1]上单调递增,

3、在(-1,0)上单调递减.2)导数法：则当时，当时，,故函数在(-∞,-1)和[1,+∞)上单调递增.在(-∞,-1]和(0,1)上单调递减.同样可研究其他函数： 1.函数的性质：（1）定义域：（2）奇偶性:定义域关于原点对称,又,故f(x)为奇函数，所以函数的图像（如下）关于原点对称(对称性)（3）图像如下：5图像亦为双曲线，以直线以直线和为渐近线。从其图像上来看在(-∞,0)和(0,∞)上单调递增，其值域为R2.函数（1）定义域:故（2）奇偶性：首先定义域关于原点对称：1）当为偶数时，所以为偶函数，

4、故其图像关于轴对称；2）当为奇数时，所以为奇函数，故其图像关于原点对称。（3）图像如下：（4）值域：1）当为偶数时，当时，，则利用均值不等式，当且仅当即时等号成立，故又当为偶数时为偶函数，而偶函数在对称区间上的值域相同，所以当时，，此时，等号成立。综上知，（当为偶数时）的最小值为，但没有最大值，即值域为：2）当为奇数时，当时，，则利用均值不等式，5当且仅当即时等号成立，故又当为奇数时为奇函数，而奇函数在对称区间上的值域相反，所以当时，，此时，等号成立。综上知，（当为奇数时）的值域为：（5）单调性：1）当

5、为偶数时，任取，则令当时，则此时，所以函数在上单调递增；当时，则此时，所以函数在上单调递减；又当为偶数时为偶函数，而偶函数在对称区间上的单调性相反，所以当时，在上单调递减，在上单调递增。2）当为奇数时，任取，则令5当时，则此时，所以函数在上单调递增；当时，则此时，所以函数在上单调递减；又当为奇数时为奇函数，而奇函数在对称区间上的单调性相同，所以当时，在上单调递增，在上单调递减。当上面函数中就是函数了，同样可以研究上述函数当是的情形，以上就是关于“耐克“函数的一些性质，由于篇幅，没有进行举例，望见谅。5