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1、目录1引言22泰勒级数32.1泰勒公式32.2泰勒级数32.3泰勒展开式(幂级数展开式)43泰勒级数的应用63.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式63.2近似计算73.3证明不等式103.4应用泰勒级数计算积分10参考文献1212泰勒级数及其应用摘要:本文主要介绍了泰勒级数及其应用,泰勒级数是一种常用的数学工具,在很多时候利用泰勒级数解题是非常方便的.本文就是对泰勒级数及其应用的一些叙述,主要是对泰勒级数在初等函数展为幂级数、近似计算、证明不等式、计算积分等方面展开讨论.关键词:泰勒公式;泰勒
2、级数;泰勒展开式;近似;不等式;积分中图分类号:O171TaylorseriesanditsapplicationsWANGYi(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China）Abstract:ThisthesismainlyintroducesTaylorseriesanditsapplications.Taylorseriesisakindoffrequently-usedmathema
3、ticaltool,whichmakesitmuchmoreconvenienttosolveproblems.Inthisthesis,Taylorseriesanditsapplicationsarediscussed,whichincludessomeuseofTaylorseries,referringtotheexpansionfromnon-elementaryfunctiontopowerseries,approximatecalculation,inequalityproof,calcu
4、lationofintegralandsoon.Keywords:Taylorformula;Taylorseries;Taylorexpansion;approximate;inequality;integral1引言泰勒级数以在1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒来命名,在数学分析中,泰勒级数是利用无限项相加来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得.泰勒级数的相关知识不仅具有重大的理论意义,而且具有广泛的实用价值.它与泰勒公式有着密切的联系,但也存在着一些实质性的区别,因此,
5、在学习这部分内容时,应该明确地掌握泰勒公式和泰勒级数的相关定义.就泰勒级数而言,12它对于一些非线性问题来说是一个很好的解题工具.利用它解题的主要思想是将非线性问题线性化,即将一些函数展开成它的泰勒级数,然后利用所展开的泰勒级数联系实际问题最终解决问题.下面就对泰勒级数及其应用做一个简要的介绍.2泰勒级数2.1泰勒公式若函数在上存在直至阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得则称为在的泰勒公式.其中,为Lagrange余项.2.2泰勒级数若在(1)中抹去余项,那么在附近可用(
6、1)式右边的多项式来近似代替,如果函数在处存在任意阶的导数,这时称形式为的级数为函数在的泰勒级数.在实际应用中,我们更多的是讨论函数在处的泰勒级数,这时(2)式可以写作,称为麦克劳林级数.例1写出下列函数的麦克劳林级数,12解因,,.所以的麦克劳林级数为..解因,当为正整数时利用二项式定理就可以写出它的麦克劳林级数;当不为正整数时,由于,所以.于是的麦克劳林级数为.□由上述几道例题知,一个函数只要在点有任意阶导数,就有对应的泰勒级数.2.3泰勒展开式(幂级数展开式)定理设在点具有任意阶导数,那么在区间(
7、)内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是:对一切满足不等式的,有.这里是在处的泰勒公式余项.根据上述的定理我们就会知道,对于一个具有任意阶导数的函数,它的泰勒级数是否能够收敛到函数本身,与函数在的泰勒公式余项有着密切的联系.下面我们给出泰勒展开式(幂级数展开式)的概念.若函数能在的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,则称函数在的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式12的右边为在处的泰勒展开式,或称为幂级数展开式.下面我们主要研究函数展开成麦克劳林级数.因为麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数,即当时的泰勒级数
8、.它不但研究起来更加的方便,而且也能够体现出泰勒级数的相关性质.例2求下列初等函数的展开式(1)(2)sinx.解因,,,(n=1,2,…).所以的拉个朗日余项为下面我们对余项进行放缩并求出它的极限,而,因而可以知道.由定理1知,.因同上题一样,经验证正弦函数的拉格朗日余项的极限为.于是,.□123泰勒级数的应用3.1利用泰勒级数将非初等函数展开为幂级数的形式一般来说,只有一些相对简单的初等函数,其幂级数展开式能直接从定义出发,并根据定理1
