泰勒级数及其应用

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1、泰勒级数及其应用张伯顺(湖北工业大学武汉市430068)摘要：泰勒级数是一种重要的数学工具，在诸多场合有着广泛的应用。下文针对其在近似计算、极限计算、级数与广义枳分的敛散性、说明无穷小的阶、不等式的证明及中值定理的证明等方面的应用展开论述与分析。关键词：泰勒级数；近似；极限；敛散性；不等式；中值定理泰勒级数是我们应用较多的一种数学工具，在这里对其做一个简要的介绍，并论述一些它的应用。1.泰勒级数的定义若函数/U())在点％()的某一临域内具有直到0?+1)阶导数，则在该邻域内/(X)的Z2阶泰勒公式为：-/(xo)4■/(x0)(x_x0)+u)(又_又0)2+•••+——y-^(x-x0

2、)n+Rn(%)2!n其中，为余项，有两种形式：皮亚诺余项及拉格朗日余项。在应用泰勒级数吋，应选择不同的形式，一般是做近似计算时采川朗格朗日余项，做极限时采川皮亚诺余项。以上函数展开式称为泰勒级数。2.泰勒级数的应用2.1近似计算目前解决解决非线性问题的一种有效工具是泰勒级数，即利用泰勒展开式一阶近似，将非线性问题线性化，达到近似求解的FI的。如若一阶近似达不到近似精度标准的话，还可以在泰勒级数展开式屮取更岛的阶，在实际问题屮我们经常会使用级数的二阶多项式求复杂问题的近似解。例如：在我们口常生活屮的路而结构屮，路凹结构是在不断遭受载荷的重压而产生振动，以致遭受破坏的，研究发现其振动是以非

3、线性的形式进行的。我们已知的线性振动形式为：F(x)=kx对于非线性振动负荷和变形的关系为：F(x)=/(x)因为这里的/CO未知，所以我们可以借助于泰勒级数，将上式展开为：F=kx±/3x，使其成为线性函数，进而分析出符合硬弹簧特性，经验证拟合水泥振动特性，达到了令人满意的效果。近似计算还有以下儿种形式：(1)计算近似值；例如：求的近似值V65=V64+1=8^1+—,由=1+丄x-丄x2+丄(1+汝px3，可以得到V642!3!4!8(1+丄•丄-丄」v卜8.06226,此时误差/?<8•丄」v<0.5xl0'5.264864216643(2)计算定积分的近似值例如：求也35sin(汝

4、+7~)妨.XX"?7W：sinx=x+H—x3!5!7!因此得到sinx=14sm(汝+7.—)X26—+—+—X3!5!7!sinx,rxdx=[x-3!3x5+_+5!571sin(汝+7——)^X1]7!7丄3!35!5sin(汝+7-—)7!71+1此得到Udx^一--+—«0.9461此时误差/?<」-<0.5x10一4°x3!35!57!72.2极限计算经常使用的洛必达法则的结论是在特殊条件下存在的，可以由泰勒级数进行推导得出，故而可以利用己知函数的泰勒级数求解未定式的极限。例如：计算„mtartanx)_sin(sinx)•v^0tanx-sinx经分析可知，此题为2型，

5、用洛必达法则很难求解，可以说明的是tan(tanx)和sin(sinx)及tanx，sinx均在o(0,<5)内三阶可微:vsinx=x-—4-o(X3)3!tan%-sinx=(―4-—)x3+o(x3)33!nJ见分母是3阶无穷小，故写出分子上各泰勒级数展开式，关于？的较高阶部分讨以略去,X：sin(sinx)=sin[x-^+<7(x3)]=xf(x-f)’+W)=%-y+^(%323Otan(tanx)=tanfx+—+o(x')1=x+—r+o(x•••tan(tanx)-sin(sinx)=x3+012x3+o(x3)=22.3级数与广义积分的敛

6、散性/Woo例i.设/u)在某一值域内具有二阶连续导数，且=证明级数［/(一)绝/!=1打X>0对收敛。证明：由题设知/(0)=0，/’(0)=0,/(X)在点x=0的某一邻域内泰勒级数展开是为：/W=/(o)+/’(o)x+士/••(汝)x2=丄/•’(a)%2(o<汐<1)再由题设/’’(％)在包含原点的领域连续，故存在A/〉0,使

7、/’(x)

8、

9、/(x)

10、S!x2.令又=士，当n充分大时有/(-)nMl°°1°°1<——因为级数收敛，由比较法知绝对收敛,2n=i„=inr^inx例2:讨论广义积分lim也的敛散性x-sinxr^inx解：vlimdx=oo9/.x=0是暇点

11、，由比较判別法可知工->0x-sinx若1111^//(/¥)+/，其x->0中0(X4)X+(7(X6x-smx/x'zx-(xvo(x3![1-—x2+o(x3)]—(I+ox)=-+OV6xxxsinxx/.limx=6-x-sinxVty=1,所以